Как округлять относительную погрешность

Погрешность результата измерений позволяет определить те цифры результата, которые являются достоверными. При расчете величины погрешности, особенно с помощью калькуляторов, значение погрешности получается с большим числом знаков. Это создает впечатление о высокой точности измерений, что не соответствует действительности, так как исходными данными для расчета чаще всего являются нормируемые значения погрешности используемого СИ, которые указываются всего с одной или двумя значащими цифрами. Вследствие этого и в окончательном значении рассчитанной погрешности не следует удерживать более двух значащих цифр. В метрологии существуют следующие правила:

1. Погрешность результата измерения указывается двумя значащими цифрами, если первая из них 3 или меньше, и одной — если первая цифра есть 4 и более.

Значащими цифрами числа считаются все цифры от первой слева, не равной нулю, до последней справа цифры, при этом нули, записанные в виде множителя 10 n , не учитываются.

2. Результат измерения округляется до того же десятичного разряда, которым оканчивается округленное значение абсолютной погрешности. (Например, результат 85.6342, погрешность 0.01. Результат округляют до 85.63. Тот же результат при погрешности в пределах 0.012 следует округлить до 85.634).

3. Округление производится лишь в окончательном ответе, а все предварительные вычисления проводят с одним — двумя лишними знаками.

4. Округление следует выполнять сразу до желаемого числа значащих цифр, поэтапное округление приводит к ошибкам.

При округлении числовых значений погрешности и результата измерений необходимо руководствоваться следующими общими правилами округления.

Лишние цифры в целых числах заменяются нулями, а в десятичных дробях отбрасываются. (Например, число 165245 при сохранении четырех значащих цифр округляется до 165200, а число 165.245 — до 165.2).

Если десятичная дробь оканчивается нулями, они отбрасываются только до разряда, который соответствует разряду погрешности. (Например, результат измерений 235.200, погрешность 0.05. Результат округляют до 235.20. Тот же результат при погрешности в пределах 0.015 следует округлить до 235.200).

Если первая (считая слева направо) из заменяемых нулями или отбрасываемых цифр меньше 5, остающиеся цифры не изменяются.

Если первая из этих цифр равна 5, а за ней не следует никаких цифр, или идут нули, то, если последняя цифра в округляемом числе четная или нуль, она остается без изменения, если нечетная — увеличивается на единицу. (Например, число 1234.50 округляют до 1234, а число 8765.50 — до 8766).

Если первая из заменяемых нулями или отбрасываемых цифр больше 5 или равна 5, но за ней следует значащая цифра, то последняя остающаяся цифра увеличивается на единицу. (Например, число 6783.6 при сохранении четырех значащих цифр, округляют до 6784, а число 12.34520 — до 12.35).

Особенно внимательно следует относиться к записи результата измерения без указания погрешности, так как записи результата 2.4 10 3 В и 2400В не являются тождественными. Первая запись означает, что верны цифры тысяч и сотен вольт и истинное значение может находиться в интервале от 2.351кВ до 2.449кВ. Запись 2400 означает, что верны и единицы вольт, следовательно истинное значение напряжения может находиться в интервале от 2399.51В до 2400.49В.

Поэтому запись результата без указания погрешности крайне нежелательна.

Окончательно правила записи результата измерений можно сформулировать следующим образом.

1) При промежуточных вычислениях значения погрешности сохраняют три -четыре значащие цифры.

2) Окончательное значение погрешности и значение результата округляются в соответствии с изложенными выше правилами.

3) При однократных технических измерениях когда учитывается только основная погрешность СИ (СИ используются в нормальных условиях эксплуатации), результат записывается в виде:

или

.

(Например, результат измерения напряжения В, погрешность В. Результат может быть записан в виде:)

4) При однократных технических измерениях в рабочих условиях, когда по нормативным данным на СИ учитывают основную и дополнительные погрешности и результирующую погрешность определяют по формуле (1.35), результат записывают в виде:

5) При статистических измерениях, когда определяется только величина случайной погрешности нормально распределенных данных в виде доверительного интервала, результат записывается в соответствии с (1.31):

Если границы доверительного интервала несимметрична, то они указываются по отдельности.

6) При статистических измерениях, когда оцениваются границы неисключенных систематических погрешностей результата (НСП) и доверительный интервал случайной погрешности нормально распределенных данных, но результат используется как промежуточный для нахождения других величин (например, при статистических косвенных измерениях) или предполагается сопоставление его с другими результатами аналогичного измерительного эксперимента, результат записывается в соответствии с (1.39):

если , то это указывается дополнительно, как в п. 5.

Если границы НСП или границы доверительного интервала несимметричны, то они указываются по отдельности:

7) Если при измерении получены оценки погрешности при условиях, оговоренных в п. 6, но результат является окончательным и не предполагается в дальнейшем анализ его и сопоставление с другими результатами, то он записывается в соответствии с (1.41):

где определяется по формуле (1.40),

если же , это указывается дополнительно, как в п. 5.

8) При статистических измерениях, когда оцениваются границы НСП и доверительный интервал случайной погрешности, но при обработке результатов идентифицирован закон распределения, отличный от нормального, оценки значения результата измерения и доверительный интервал случайной погрешности находятся по соответствующим формулам [5], результат представляется в виде аналогичном представлению результата в п. 6, но дополнительно приводится информация о виде закона распределения опытных данных.

9) Если как в п. 8 обрабатываются результаты статических измерений и заранее известно, что закон распределения опытных данных отличается от нормального, но действий по идентификации вида реального закона по какой-либо причине не предпринимается, то результат может быть представлен в виде, аналогичном представлению результата в п. 6, но доверительный интервал случайной погрешности определяется в соответствии с рекомендациями ГОСТ 11.001-73 как при доверительной вероятности .

Запись результата может выглядеть, например, так:

(при ); ; ; .

Доверительная вероятность, при которой определяется суммарный НСП — , в этом случае может отличаться от .

Рассчитывая значения погрешности, особенно при пользовании электронным калькулятором, значение погрешности получают с большим числом знаков. Однако исходными данными для расчета являются нормируемые значения погрешности средства измерений и класс точности, которые указываются всего с одной или двумя значащими цифрами. Вследствие этого и в окончательном значении рассчитанной погрешности должны быть оставлены только первые одна-, две значащих цифры.

При этом приходится учитывать следующее обстоятельство. Если полученное число начинается с цифр 1 или 2, то отбрасывание второго знака приведет к очень большой ошибке (до 30¸50 %), что недопустимо. Если же полученное число начинается, например, с цифры 9, то сохранение второго знака, т.е. указание погрешности, например, 0.94 вместо 0.9, является дезинформацией, т.к. исходные данные не обеспечивают такой точности.

Исходя из этого, на практике установилось следующее правило: если полученное число начинается с цифры равной или большей, чем , то в нем сохраняется лишь один знак. Если же оно начинается с цифр, меньших 3, т.е. с цифр 1 и 2, то в нем сохраняют два знака.

На основании вышеизложенного можно сформулировать следующие три правила округления рассчитанного значения погрешности и полученного экспериментального результата измерения.

Правило 1. Погрешность результата измерения указывается двумя значащими цифрами, если первая их них равна 1 или 2, и одной – если первая цифра равна 3 и более.

Правило 2. Результат измерения округляется до того же десятичного разряда, которым оканчивается округленное значение абсолютной погрешности.

Правило 3. Округление производится лишь в окончательном ответе, а все предварительные вычисления проводят с одним — двумя лишними знаками.

Пример.На вольтметре класса точности 2.5 с пределом измерения 300 В был получен отсчет измеряемого напряжения х = 267,5 В. Определить абсолютную и относительную погрешности измерения, произвести округление их значений и округление результата измерения. Представить результат измерения.

Решение. Здесь класс точности указан числом без кружочка, следовательно, абсолютную погрешность находим по формуле

,

.

Т.к. 7>3, то D(х) округляем до 8 В.

Относительная погрешность определится по формуле

Т.к. 2

Приближенные вычисления следует вести с соблюдением следующих правил.

1. При сложении и вычитании приближенных чисел окон­чательный результат округляют так, чтобы он не имел значащих цифр в тех разрядах, которые отсутствуют хотя бы в одном из при­ближенных данных.

Например, при сложении чисел

4,462 + 2,38 + 1,17273 + 1,0262 = 9,04093 следует сумму округлить до сотых долей, т.е. принять ее равной 9,04.

2.При умножении следует округлять сомножители так, чтобы каждый из них содержал столько значащих цифр, сколько их имеет сомножитель с наименьшим числом таких цифр.

Например, вместо вычисления выражения

следует вычислять выражение

В окончательном результате следует оставлять такое же число значащих цифр, какое имеется в сомножителях после их округления.

В промежуточных результатах следует сохранять на одну значащую цифру больше. Такое же правило следует соблюдать и при делении приближенных чисел.

3. При возведении в квадрат или в куб следует в степени брать столько значащих цифр, сколько их имеется в основании степени.
Например,

4. При извлечении квадратного или кубического корня в результате следует брать столько значащих цифр, сколько их имеется в подкоренном выражении. Например,

.

5. При отбрасывании сомнительных цифр следует помнить:

— если отбрасываемая (n + 1) цифра меньше 5, то остающаяся n-я цифра не меняется (пример: 10,132 после округления 10,13);

— если отбрасываемая (n + 1)-я цифра равна или больше 5, то остающаяся n-я цифра увеличивается на 1 (пример: 9,836 после округления 9,84).

Последнее изменение этой страницы: 2017-02-05; Нарушение авторского права страницы

— погрешность результата измерения указывают двумя значащими цифрами, если первая из них равна 1 или 2, и одной, если первая равна 3 и более;

— результат измерения округляют до того же десятичного разряда, которым оканчивается значение абсолютной погрешности;

— округление производится лишь в окончательном ответе, а все предварительные вычисления — с одним — двумя лишними разрядами.

Значащими цифрами числа являются все цифры данного числа, кроме нулей, стоящих слева. Нули, стоящие в середине или в конце числа (справа) являются значащими цифрами, так как обозначают отсутствие единиц в соответствующем разряде. При этом цифры множителя 10 n не учитываются.

При ограничении числа значащих цифр используется операция округления. Округление числа представляет собой отбрасывание значащих цифр справа после определенного разряда с возможным изменением цифры этого разряда. Существуют следующие правила округления.

1. Если первая из отбрасываемых цифр меньше чем “5”, то цифра предыдущего разряда не изменяется.

2. Если первая из отбрасываемых цифр больше чем “5”, то цифра предыдущего разряда увеличивается на единицу.

3. Если отбрасывают несколько цифр и первая из отбрасываемых цифр “5”, то цифру предыдущего разряда увеличивают на единицу.

4. Если отбрасывают только одну цифру “5”, а за ней нет цифр, то округление производят до ближайшего четного числа, т. е. цифра предыдущего разряда остается неизменной, если она четная, и увеличивается на единицу, если она нечетная.

Запись результатов измерений

При записи результатов промежуточных вычислений сохраняется одна запасная цифра.

1. При сложении и вычитании в окончательном результате сохраняют столько десятичных знаков, сколько их содержится в числе с наименьшим количеством десятичных знаков.

Пример: 23,2 + 0,44 + 7,247 = 23,2 +0,44 + 7,25 = 30,89 ≈ 30,9.

2. При умножении и делении в окончательном результате следует сохранить столько значащих цифр, сколько их имеет число с наименьшим числом значащих цифр.

Пример: 30,9·3,8364 = 118,54476 ≈ 119.

Исключение из правила допускается в тех случаях, когда один из сомножителей начинается с единицы, а сомножитель, имеющий наименьшее количество цифр, – с любой другой цифры. В этом случае в результате сохраняют на одну цифру больше, чем в числе с наименьшим количеством значащих цифр.

Пример: 30,9·1,8364 = 56,74476 ≈ 56,74.

3. В результате расчета значений функций вида x n , x 1/n , lnx результат должен содержать столько значащих цифр, сколько их имеет аргумент x.

Пример: (11,38) 2 = 129,5044 ≈ 129,5.

При вычислении промежуточных результатов сохраняют на одну цифру больше, чем предусмотрено пунктами 1–3. В окончательном результате эта дополнительная цифра отбрасывается по правилам записи окончательного результата или по правилам записи результата с учетом погрешности.

Если при вычислениях используются табличные данные, то все их цифры верные.

Если при квадратичном суммировании одно из чисел меньше другого в 3 и более раз, то им можно пренебречь.

Примеры решения задач

Определить максимальную абсолютную, относительную, приведѐнную погрешности и сделать запись результата измерения напряжения аналоговым вольтметром с классом точности 1,5 с пределом 1 В для показания 0,87 В.

Обозначение класса точности вольтметра числом 1,5 означает, что класс точности определяется по приведенной погрешности, которая является аддитивной.

Максимальная абсолютная погрешность из формулы (11)

р – класс точности; X _N – нормирующее значение измеряемой величины, равное пределу измерения.

В соответствии с правилами округления результат измерения имеет вид:

Определить абсолютную погрешность и сделать запись результата из мерения напряжения цифровым вольтметром с классом точности 0,1/0,05 с пределом 10 В для показания 7,93 В.

Для цифрового вольтметра относительная погрешность равна:

Здесь X_K = 10 В предел измерений;

c/d = 0,1/0,05 – класс точности;

Х =7,93 В – показание цифрового вольтметра.

По относительной погрешности определяется абсолютная:

.

В соответствии с правилами округления результат измерения имеет вид:

Округлить результат измерения:

1) 4,862452 ± 0,12465 ≈ 4,86 ± 0,12
2) 43,234 ± 0,0417 ≈ 43,23 ± 0,04
3) 43,234 ± 0,297 ≈ 43,2 ± 3,0
4) 432,34 ±19,37 ≈ 432 ±19
5) 432,34 ± 49,1 ≈ (43 ± 5)·10
6) 123357 ± 678 А/м ≈ 123400 ± 700 А/м

Дата добавления: 2018-10-15 ; просмотров: 458 | Нарушение авторских прав