Как построить график в полярной системе координат

Полярная система координат состоит из заданной фиксированной точки O, называемой полюсом, концентрических окружностей с центром в полюсе и лучей, выходящих из точки O, один из которых OX – полярная ось.

Расположение любой точки M в полярных координатах можно задать положительным числом ρ=|ОМ|, равным расстоянию от полюса до точки, и числом φ, равным величине угла ХОМ (полярный угол). ρ и φ называют полярными координатами точки M, и точку обозначают M(ρ, φ). Для формирования графика в полярных координатах используется функция polar(φ, ρ, s),где φ — массив полярных углов, ρ — массив значений полярных радиусов точек, образующих графики.

Пусть требуется построить график функции r(φ)=5cos(2-7φ). При построении графика функции в полярных координатах будем изменять аргумент от до 2.

Необходимо сформировать массивы значений полярного угла φ и полярного радиуса r (аргументом является угол) r(φ)=5cos(2-7φ).

Можно также указать тип и цвет линий, тогда :

Для построения траектории движения точки на плоскости (анимация) предусмотрена функция comet, а для построения траектории движения точки в трехмерном пространстве – функция comet3. Это простой способ создать анимированное изображение.

Изобразим движение точки по траектории, заданной параметрически.

Построим траекторию движения точки в пространстве.

Для более сложной анимации можно использовать команды getframe и movieview. Команда getframe захватывает активное окно изображения в один кадр фильма, а команда movieview воспроизводит результат в отдельном окне. Приведенные ниже команды воспроизводят кадры с вибрирующей струной:

В приведенном выше примере для организации цикла используется оператор for, работа которого будет описана далее.

Трехмерная графика.

График поверхности (трехмерный график) – это график, положение точки в котором определяется значениями трех координат. Трехмерным аналогом функции plot является функция plot3, которая позволяет создавать трехмерные линии. Если есть три вектора x, y, z, задающих координаты точек в трехмерном пространстве, то при выполнении функции plot3(x,y,z), построится трехмерная линия на плоскости.

Пусть требуется построить график линии, заданной формулами:

Построилась винтовая линия (спираль).

Функция plot3, также как и функция plot, может иметь дополнительный аргумент, задающий параметры линии (тип линии, цвет и тип маркера). Например, plot3(x,y,z, ‘g*’).

Можно также использовать команду ezplot3:

Для вычерчивания каркасных поверхностей в трехмерном пространстве существуют две основные функции: mesh и surf.

Команда mesh(Z) – строит прозрачную сетчатую поверхность, а команда surf(Z)- затененную, где Z — матрица, значения элементов которой определяют соответствующие координаты на графике. Построим прозрачную поверхность для единичной матрицы, задав команды:

По главной диагонали расположены “пики” – единицы.

Аналогично, задав команду:

Получим затененную поверхность.

Для построения в трехмерном пространстве функции от 2-х переменных Z(X, Y) необходимо сначала с помощью векторов x и y задать прямоугольную сетку, которая будет использоваться как основание для построения трехмерной поверхности. Для этого надо воспользоваться функцией meshgrid, которая создает эту сетку из точек в прямоугольной области с заданными интервалами. Диапазоны значений по осям x и y задаются векторами x и y соответственно. Имена векторов и матриц могут различаться.

Пусть значения по осям x и y заданы векторами x и y:

Сформируем матрицы X и Y с помощью функции meshgrid:

На основе векторов x и y формируются две матрицы, в которые записываются координаты узлов сетки. Матрица X содержит одинаковые строки, в которых заданы координаты X. Матрица Y содержит одинаковые столбцы, в которых заданы координаты Y. Наложение матриц X и Y позволяет получить пары (x_i и y_j), для которых в дальнейшем вычисляется значение функции Z. Значения функции в узлах сетки записываются в матрицу Z, размерность которой равна размерности матриц X и Y.

Построим график функции, которая имеет вид:

на заданном интервале от-2 до 2 и от y от -4 до 4 с шагом равным 0.1

Зададим два вектора x и y, используя запись:

если оба вектора одинаковые, то можно записать: y= x

Далее вызывается команда

Значения векторов можно указать прямо внутри команды meshgrid(-2:0.1:2,-4:0.1:4)

Создаётся прямоугольная сетка с шагом 0.1, которая используется для построения 3-х мерной поверхности. Каждому значению x ставится в соответствие каждое значение y. Для каждой пары x_i y_i,_,(в узлах сетки) будет вычислено значение функции Z. В результате сформируется матрица из вычисленных значений функции. После этого можно вызвать команду для вывода изображения на экран.

Ниже приведен пример построения графика с использованием функции plot3:

Более наглядные графики получаются с использованием функции mesh.

Линии на разных участках графика окрашены в разные цвета. Эти цвета соответствуют значениям функции. По умолчанию оттенки красного цвета соответствуют большим значениям функции, а синего – меньшим.

Можно сделать “прозрачной” каркасную поверхность, отобразив ее скрытые части, применив команду hidden off. Отмена — hidden on.

Если использовать функцию meshz(X,Y,Z), то будет видно основание, на котором построен график.

Введите график функции

Важно phi должно лежать в правильном промежутке, иначе график не сможет построиться

Построим график функции в полярных координатах r=r(φ),
где Выражения могут состоять из функций (обозначения даны в алфавитном порядке): absolute(x) Абсолютное значение x
(модуль x или |x|) arccos(x) Функция — арккосинус от x arccosh(x) Арккосинус гиперболический от x arcsin(x) Арксинус от x arcsinh(x) Арксинус гиперболический от x arctg(x) Функция — арктангенс от x arctgh(x) Арктангенс гиперболический от x e e число, которое примерно равно 2.7 exp(x) Функция — экспонента от x (что и e^x) log(x) or ln(x) Натуральный логарифм от x
(Чтобы получить log7(x), надо ввести log(x)/log(7) (или, например для log10(x)=log(x)/log(10)) pi Число — "Пи", которое примерно равно 3.14 sin(x) Функция — Синус от x cos(x) Функция — Косинус от x sinh(x) Функция — Синус гиперболический от x cosh(x) Функция — Косинус гиперболический от x sqrt(x) Функция — квадратный корень из x sqr(x) или x^2 Функция — Квадрат x tg(x) Функция — Тангенс от x tgh(x) Функция — Тангенс гиперболический от x cbrt(x) Функция — кубический корень из x floor(x) Функция — округление x в меньшую сторону (пример floor(4.5)==4.0) sign(x) Функция — Знак x erf(x) Функция ошибок (Лапласа или интеграл вероятности)

© Контрольная работа РУ — калькуляторы онлайн

В простейших случаях допустимо строить график функции, заданной в полярных координатах, по точкам (см. пример занятия 15).

Построение графика функции ρ=f( в общем случае осуществляется так: а) строят для функции ρ=f( соответствующую функцию y=f(x); б) исследуют функцию ρ=f( , сравнивая ее с соответствующей функцией y=f(x), учитывая отмеченные выше особенности графика функции ρ=f( ; в) выполняют построение графика функции ρ=f( по графику функции y=f(x).

Ограниченность функции.

Если функция y=f(x) ограничена (M 0, а затем строить кривую ρ=f( для , соответствующих значениям х, при которых f(x)

= эти значения равны 3 и -3.

Функция y=3sin2 при x ]0; [ ] ; [ возрастающая при x ] ; [ ] ; [ убывающая; соответственно, функция, ρ=3sin2 возрастающая при ] ; [ ] ; [. Кривая y=3sin2 асимптот не имеет, не имеет их и кривая ρ=3sin2 . Следовательно, кривая ρ=3sin2 располагается в круге радиусом 3 с центром в полюсе.

Учитывая симметрию кривой ρ=3sin2 относительно полюса и ее периодичность, строим кривую ρ=3sin2 для 0≤ ≤ . Это построение выполняем так: сначала строим точку экстремума

A1( ) и точки, для которых ρ = 0: A2( ), A1( ); после этого строим точки B1(ρ; ), B2(ρ; ) .

Заметим, что значения ρ для точек B1 и B2 получим из графика функции y=3sin2 , взяв соответствующую ординату кривой для точек х= и х= . Аналогично строим точки С1 и С2 . Проведя через эти точки линию, получим график функции ρ=3sin2 для 0≤ ≤ (рис 298, а). Учитывая симметрию относительно полюса, строим кривую ρ=3sin2 для — ≤ ≤0 (рис 298, б). Наконец, с помощью поворота на угол вокруг полюса получаем график функции ρ=3sin2 (рис 298 в).

1. ρ=αcos2 (четырехлепестковая роза)

Воспользовавшись формулой cos2 =sin( +2 ) приведем заданную функцию к виду

ρ =αsin( +2 ).

Очевидно, что график функции ρ =αsin( +2 ) получим из графика функции ρ=αcos2 с помощью поворота на (рис 299)

1. ρ= , или ln ρ=α (логарифмическая спираль), α>0
2. ρ = , >0.
3. ρ = b (конхоида)

Занятие 17.

Тема занятия: «Контрольная работа № 2.»

План занятия.

1. Контрольная работа № 2.

Методические материалы.

Содержит задачи из разделов: "Основные тригонометрические функции и обратные тригонометрические функции", "Преобразование тригонометрических выражений", "Показательная функция. Показательные уравнения и неравенства", "Логарифмическая функция. Логарифмические уравнения и неравенства", "Производная. Геометрический смысл. Производная сложной функции", "Исследование функций одной переменной".

Контрольные мероприятия

Перед проведением текущих аттестаций выполняются контрольные работы. Контрольные работы направлены на выявление практических навыков в решении задач элементарной математики по рассмотренным темам и усвоения нового материала. Представляют собой билет с 5 задачами.

Контрольная работа № 1.

Планируется на 7 занятии. На ее выполнение отводится 1 час времени.

Контрольная работа № 2.

Планируется на последнем занятии. На ее выполнение отводится 1 час времени.

Требования при подведении итогов текущей и промежуточной аттестаций, определяющие условия, при которых цикл практических занятий считается зачтенным

Дисциплина состоит из курса с практическими занятиями, завершающегося зачетом.

Знания студентов по дисциплине оцениваются по 100-бальной системе со следующими диапазонами баллов:

Бальная оценка по дисциплине определяется как сумма баллов, набранных студентом в результате работы в семестре (текущая успеваемость, 60 баллов) и на зачете (промежуточная аттестация, 40 баллов).

Бальная оценка текущей успеваемости складывается из следующих показателей:

· посещаемость — 0-10 баллов (0-5 баллов на каждую аттестацию);

· выполнение контрольной работы № 1 — 0-15 баллов,

· выполнение контрольной работы № 2 — 0-15 баллов,

· выполнение домашних заданий — 0-20 баллов (0-10 баллов на каждую аттестацию).

Отчеты по выполнению самостоятельной работы (домашних заданий) сдаются на проверку дважды в семестре: первый отчет не позднее 31 октября (дня текущей аттестации), второй отчет не позднее зачетной недели. Студенты, не сдавшие отчеты по самостоятельной работе, не допускаются к промежуточной аттестации.

Практические занятия к текущей аттестации будет зачтены при условии выполнения домашних заданий, что подтверждается сдачей отчета по домашним заданиям и набранной балльной оценки не менее 10 баллов.

Цикл практических занятий за семестр считается зачтенным при условии выполнения контрольных работ и сдачи отчетов, содержащих домашние задания.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК.

1. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления: Учебник для вузов. В 3 т. Т.1. — М.: Невский диалект, 2001 .— 680 с.; Т.2. — М.: Невский диалект, 2006 .— 864 с.

2. Кремер Н.Ш., Константинова О.Г., Фридман М.Н. Математика для поступающих в экономические вузы: Учеб. пособие / Под ред. Н.Ш.Кремера. — М.: Юнити-Дана, 2004 .— 605с.

1. Выгодский М.Я. Справочник по элементарной математике. — М.: АСТ: Астрель, 2008.— 509 с.

2. Золотухин А.Я. Элементы теории множеств, меры и интеграла Лебега. Тула: ТулГУ, 2007. – 107с.

3. Иванов К.П. Сборник задач по элементарной математике для абитуриентов. — СПб.: Невский Диалект, 2007. — 336 с.

4. Кузнецов Л.А. Сборник заданий по высшей математике (типовые расчеты). СПб.: Лань, 2008. – 240 с.

5. Симонян, А.З. Математика : Метод.пособие для поступающих в ТулГУ / Симонян А.З.;ТулГУ .— Тула, 2006 .— 112с.

Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого.

Папиллярные узоры пальцев рук — маркер спортивных способностей: дерматоглифические признаки формируются на 3-5 месяце беременности, не изменяются в течение жизни.

Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим.