Как определить степень подвижности механизма

Определение степени подвижности пространственной кинематической цепи

Пусть мы имеем n звеньев, из которых собирается кинематическая цепь. Пока звенья не соединены в кинематические пары, каждое из них имеет шесть степеней свободы (степеней подвижности). Все звенья до соединения в кинематическую цепь следовательно имели 6n степеней подвижности. После сборки звеньев в кинематическую цепь мы получим кинематические пары различных классов (с разными степенями подвижности). Предположим, что наша кинематическая цепь имеет кинематические пары всех пяти классов.

Примем следующие обозначения:

Р₅ — количество кинематических пар пятого класса в образованной нами кинематической цепи,

Р₄ — количество кинематических пар четвёртого класса,

Р₃ — количество кинематических пар третьего класса,

Р₂ — количество кинематических пар второго класса,

Р₁ — количество кинематических пар первого класса.

Каждая кинематическая пара ограничивает перемещение звеньев, отбирает у них столько степеней свободы, как её класс. Каждая кинематическая пара 5 класса отбирает у звеньев 5 степеней свободы. Все пары пятого класса отнимут у звеньев 5Р₅ степеней свободы, четвёртого класса — 4Р₄, третьего — 3Р₃, второго — 2Р₂, первого — 1Р₁. Если из общего количества степеней свободы звеньев 6n вычесть все потерянные степени свободы, получим число степеней подвижности кинематической цепи W:

Степенью подвижности механизма называется количество независимых координат, которые необходимо задать для определения положений звеньев механизма в системе координат, жестко связанной со стойкой.

Механизм отличается от кинематической цепи тем, что у него одно звено полностью закреплено. Закрепленное звено потеряло все шесть степеней свободы. Следовательно в механизме число подвижных звеньев равно n-1. Подставив в формулу (1) количество подвижных звеньев n-1, получим формулу для определения степени подвижности механизма:

Формула (2) впервые была получена Малышевым для пространственных механизмов.

Рассмотрим формулу Малышева для определения степени подвижности плоских механизмов. Все звенья плоского механизма могут иметь три степени подвижности, а кинематические пары соответственно могут иметь 1 или 2 степени подвижности. Если плоские кинематические пары рассматривать по классам, то они могут быть только пятого и четвёртого классов. При этом необходимо учесть, что общее количество степеней подвижности всех звеньев плоского механизма равно 3(n-1). Пары пятого класса теряют две степени подвижности, четвёртого –одну. Таким образом степень подвижности плоского механизма может быть определена по формуле:

Формула (3) для определения степени подвижности плоского механизма впервые была получена Чебышевым П. Л.

В зависимости от числа общих условий связей, накладываемых на механизм, механизмы подразделяют на семейства.

Семейства механизмов и их структурные формулы приведены в таблице 1.

Таблица 2.1 Структурные формулы различных семейств механизмов

Рассмотрим применение структурной формулы Чебышева П. Л. на конкретном примере. На рисунке 5 изображен шарнирный четырёхзвенник.

1 е — звено — кривошип — совершает вращательное движение вокруг оси О (полный оборот);

2 е — звено АВ — шатун — совершает плоско — параллельное движение;

3 е — звено ВС — коромысло (или балансир) — совершает возвратно- вращательное движение вокруг оси С (неполный оборот);

4 е — звено ОС — стойка (станина) — неподвижное звено.

Количество звеньев n = 4. Кинематические пары: 4-1, 1-2, 2-3, 3-4. Имеем 4 одноподвижные пары 5 го класса. Относительное движение всех звеньев плоское. Механизм плоский. Определяем степень подвижности его по формуле Чебышева П. Л.:

W = 3(n-1) — 2P₅ — Р₄ = 3(4-1) — 2 × 4 — 0 = 1.

Механизм имеет степень подвижности равную 1. Это значит, что достаточно задать одну координату любому звену механизма в системе координат, жестко связанной со станиной, чтобы определить положения всех остальных звеньев. Например, в нашем случае достаточно задаться углом поворота кривошипа j₁.

Пассивные связи и избыточные звенья

Звенья и кинематические пары, которые не влияют на характер движения механизма в целом, называются избыточными (лишними) звеньями и парами, а обусловленные ими связи называются пассивными связями.

При определении степени подвижности механизма избыточные звенья и кинематические пары не должны учитываться.

В сложных стержневых механизмах не всегда на глаз можно определить степень подвижности. В этих случаях необходимо воспользоваться формулой Чебышева.

Определим W механизма двойного параллелограмма (рисунок 6). Здесь АВ = ВС = КМ = MN; AN || BM || CK; AN = BM = CK и AС || KN. При таком соотношении звеньев механизм имеет W=1, т. е. достаточно задать положение звена 1 углом j₁, чтобы определить положения всех остальных звеньев. Если зафиксировать звено 1 в любом положении, то остальные звенья будут неподвижны. Определим W по формуле Чебышева. Количество звеньев – n=5, кинематических пар 5 го класса Р₅=6, количество кинематических пар четвёртого класса — Р₄=0.

W = 3(n-1) — 2P₅ — Р₄ = 3(5-1) — 2 × 6 — 0 = 0.

Если W=0, то должен быть не механизм, а жесткая ферма. Мы видим, что механизм может осуществлять движение. Если в этом механизме мысленно убрать звено 5 (или 2), то при этом характер движения остальных звеньев останется неизменным. Механизм превращается в обычный четырёхзвенник, W которого мы уже определили – W=1. При устранении звена 5 одновременно устраняется 2 кинематические пары: 5-1, 5-3. Следовательно, в этом механизме избыточными является одно звено и две кинематические пары.

Рассмотрим ещё один пример — механизм Маркуса , часто применяющийся в качестве привода качающегося конвейера (рисунок 7). Количество звеньев n = 6. Кинематические пары: 6-1, 1-2, 2-3, 2-4, 3-4, 3-6, 4-5, 5-6 все пятого класса Р₅ = 8, Р₄ = 0.

Определим W по формуле Чебышева:

W = 3(n-1) — 2P₅ — Р₄ = 3(6-1) — 2 × 8 — 0 = -1.

По схеме механизма видно, что он будет работать и W=1.

Пусть отсутствует непосредственное соединение звеньев 2-3. Звенья 3, 4, 5 всё равно займут положение, соответствующее углу поворота j₁ звена 1, т. к. звенья 1, 2, 4 должны быть зафиксированы этим углом. То же самое можно получить, если удалить кинематическую пару 2-4 или 4-3. Здесь одна кинематическая пара избыточная. Её можно не учитывать. Тогда:

W = 3(6-1) — 2 × 7 = 1.

При этом замечаем, что устранение звена влечёт за собой устранение некоторых кинематических пар. Устранение кинематических пар (прекращение контакта звеньев) не влечёт за собой как неизбежное устранение входящих в неё звеньев.

Соединение звеньев, где соединяется 3 и более звеньев, называется узлом. В узле на одну кинематическую пару меньше, чем звеньев.

Избыточные кинематические пары и звенья накладывают дополнительные условия на точность изготовления механизма, однако несмотря на это в механизм вводят иногда пассивное звено или лишнюю связь с целью получения каких либо дополнительных необходимых качеств; увеличение прочности, уменьшение трения и др.

Определим W кулачкового механизма, изображенного на рисунке 2.8. Здесь звенья 1- кулачок, 2- толкатель, 3- ролик, 4- стойка. Количество звеньев n=4. Кинематические пары 1-4, 2-4, 2-3 пятого класса и 3-1 – высшая плоская кинематическая пара 4 го класса. При повороте кулачка на угол j толкатель займёт определённое положение. На первый взгляд W=1.

Определим W по формуле Чебышева:

W = 3(4-1) — 2 × 3 — 2 = 2.

Здесь есть лишняя степень подвижности. Если бы ролик неподвижно закрепить с толкателем, то W механизма была бы равна единице. Поворот ролика по отношению к остальным звеньям не оказывает никакого влияния. Угол поворота ролика- это и есть лишняя степень свободы механизма.

Лишней степенью свободы называется такая степень свободы в движении некоторых звеньев, устранение которой не вызывает изменений в характере движения других звеньев по кинематическим соображениям.

При этом имеется в виду абсолютное или относительное движение звена. Устранение лишней степени свободы не влечёт за собой устранение звена.

Прежде чем пользоваться формулой Чебышева необходимо мысленно исключать из рассмотрения пассивные связи и лишние степени свободы.

Формула Чебышева в общем случае даёт правильный ответ. В общих случаях пассивные связи и лишние степени свободы не существуют и могут быть только в частных случаях.

Например: механизм двойного параллелограмма является частным случаем такого же механизма, когда звенья не параллельны (рисунок 9а); механизм Маркуса является частным случаем механизма, когда оси шарнирных соединений звеньев 2, 4 не совпадают (рисунок 9б); круглый ролик является более частным случаем геометрической формы ролика не круглой формы (рисунок 9в).

Таким образом формула Чебышева даёт возможность выявить характерные особенности (частности) механизмов.

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: Увлечёшься девушкой-вырастут хвосты, займёшься учебой-вырастут рога 9819 — | 7685 — или читать все.

78.85.5.224 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.

Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)
очень нужно

Степень подвижности плоского механизма определяется по формуле Чебышева:

где n — число подвижных звеньев механизма, n= 5;

p? — число низших кинематических пар с одной подвижностью, p? =7;

p? — число высших кинематических пар, p? =0.

Подставляя значения параметров в формулу Чебышева, получим:

Число W показывает, скольким звеньям необходимо задать закон движения для получения определенности движения всего механизма. Звено, закон движения которого задан, называется начальным звеном.

В рассматриваемом механизме начальным звеном является кривошип 1.

Так как степень подвижности механизма равна единице, то группа начального звена состоит из одного подвижного звена 1 и стойки 0. Такая группа по классификации Ассура относится к 1-му классу, 1-му порядку.

С группой начального звена соединена группа Ассура 2-4, состоящая из треугольного звена и шатуна. Эта группа относится к 2-му классу, 3-му порядку.

С группой Ассура 2-4 соединены группы Ассура 3-0 и 5-0, состоящие из кулисы и стойки и ползуна, и стойки, которые относятся к 2-му классу, 2-му порядку.

Класс и порядок механизма определяется классом и порядком наиболее сложной группы, входящей в его состав. Следовательно, данный механизм 2-го класса, 3-го порядка.

Вывод. Механизм может существовать и для его работы необходимо и достаточно иметь один двигатель.

Составив кинематическую схему механизма и определив число подвижных звеньев, число и типы кинематических пар, необходимо определить степень подвижности механизма.

Подвижность кинематической цепи – это определенность движения звеньев по отношению к одному из них – неподвижному звену, именуемому стойкой. Определенность движения звеньев предполагает строгую повторяемость их траекторий движения и является обязательным свойством кинематической цепи любого реального устройства, так как в противном случае управление устройством невозможно.

За обобщенную координату в плоских механизмах, как правило, принимают угол поворота входного звена φ и следовательно, если задавать ее изменение во времени, то можно получить вполне определенное движение звеньев такой кинематической цепи, называемой механизмом. Таким образом, количество входных звеньев определяется степенью подвижности механизма.

Понятие о степенях подвижности относится не к реальным механизмам, а к их идеализированным моделям. Идеализация состоит в том, что звенья механизма, являющиеся твёрдыми телами, считают абсолютно твёрдыми, жидкие звенья – несжимаемыми, гибкие – нерастяжимыми. Соединения звеньев (кинематические пары) также принимают идеальными (отсутствие зазоров в шарнирах, качение без скольжения во фрикционных передачах и т.п.). Для такого идеального механизма понятие «степень подвижности» равносильно принятому в теоретической механике понятию «число степенейсвободы». (Числом степеней свободы является число независимых параметров, однозначно определяющих положение всех звеньев механизма в пространстве либо на плоскости).

Степень подвижности плоских механизмов определяется по формуле П.Л. Чебышева:

где: W – степень подвижности механизма;

n – число подвижных звеньев механизма;

Р₅ – число кинематических пар пятого класса;

Р₄ – число кинематических пар четвёртого класса.

В кривошипно-ползунном механизме (Рис. 5) три подвижных звена:кривошип – 2, шатун – 3, ползун – 4 и три кинематические пары пятого класса: вращательные – О(1-2), А(2-3), В(3-4), и поступательная пара В * (4-1) т.е.n=3;Р₅=4;Р₄=0.

Рис.5 Схема кривошипно-ползунного механизма.

По формуле (1) получаем: W=l. В данном механизме одно входное звено.

1.8 Структурная классификация механизмов

Структурной классификацией механизмов называется разделение их на группы и классы по общности структуры.

Впервые научно обоснованная, рациональная классификация плоских механизмов была предложена в 1914 году русским учёным Л.В. Ассуром. Дальнейшее развитие структурная классификация плоских механизмов получила в работах И.И. Артоболевского.

Классификация механизмов по Ассуру-Артоболевскому позволяет для механизмов, отнесённых к одному и тому же классу, применять методику кинематического и силового анализа, разработанную специально для этого класса механизмов.

Согласно этой классификации, механизм может быть образован путём присоединения к начальному звену (или начальным звеньям) и стойке некоторых кинематических цепей.

Каждое начальное звено, входящее в кинематическую пару со стойкой (вращательную или поступательную) условно называют начальным механизмом. Начальный механизм принято считать механизмом первого класса и первого порядка.

Примерами начальных механизмов являются механизмы электродвигателей и генераторов, центробежных насосов, вентиляторов молотов, гидро – и пневмоцилиндров.

Кинематические цепи, обладающие нулевой подвижностью относительно внешних кинематических пар и не распадающиеся на более простые цепи, удовлетворяющие этому условию, называются структурными группами Ассура.

Структурные группы Ассура не влияют на подвижность механизма, они изменяют его структуру и законы движения звеньев.

В группы Ассура входят только низшие кинематические пары, поэтому степень подвижности группы определится по формуле:

Отсюда следует, что зависимость числа кинематических пар Р₅ от числа звеньев n имеет вид:

(4)

Чтобы из механизма выделить структурные группы, необходимо помнить их основные признаки, вытекающие из определения:

а) число звеньев в группе Ассура должно быть чётным, а число кинематических пар кратно трём, (Табл.3)

Таблица 3. Соотношение числа звеньев и числа кинематических пар в группах Ассура

б) степень подвижности группы всегда равна нулю;

в) степень подвижности оставшейся части механизма при отсоединении групп Ассура не должна изменяться.

Дата добавления: 2018-03-01 ; просмотров: 4115 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ