Как найти частичную сумму числового ряда

Определение

Пусть задан числовой ряд $ sum_^infty a_n $.

Сумма ряда равна пределу частичных сумм:

В данной формуле частичная сумма $ S_n $ расчитывается следующим образом:

$$ S_n = a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + . + a_n $$

Как найти?

Чтобы найти сумму ряда нужно выполнить несколько операций над общим членом ряда:

1. Составить частичную сумму $ S_n $
2. Найти предел $ lim_ S_n = S $

Если получено конечное число $ S $, то оно и есть сумма ряда!

Типы общего члена ряда в задачах:

• Ряд задан бесконечной убывающей геометрической прогрессией $ sum_^infty q^n $, $ |q| lt 1 $
  В этом случае сумма вычисляется по формуле $ S = frac<1-q>$, где $ b_1 $ — первый член прогрессии, а $ q $ — её основание
• Ряд задан в виде рациональной дроби $ frac$
  Здесь нужно воспользоваться методом неопределенных коэффициентов для разложения дроби на сумму элементарных дробей. Затем составить частичную сумму $ S_n $ и найти её предел, который будем искомой суммой

Примеры решений

Так как ряд представляет собой бесконечною убывающую геометрическую прогрессию, то воспользуемся формулой: $$ S = frac <1-q>$$

Первый член прогрессии при $ n = 1 $ равен: $$ b_1 = frac<1> <9>$$ Основанием является: $$ q = frac<1> <3>$$

Подставляя всё это в формулу для вычисления суммы получаем:

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Общий член ряда представляе собой рациональную дробь. Выполним разложение дроби на простейшие с помощью метода неопределенных коэффициентов:

Приравниваем числитель последней дроби к числителю первой дроби:

$$ 2An + 3A + 2Bn + B = 1 $$

Теперь определяем находим неизвестные коэффициенты:

После разложения общий член ряда записывается следующим образом:

Далее составим частичную сумму ряда: $$ S_n = a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + . + a_n $$

Достаточно часто читатели нам присылают просьбы найти суммы своих рядов по причине того, что они не понимают, откуда получается $ a_ $.

Обратите внимание, чтобы составить $ a_ $ необходимо подставить в $ a_n $ вместо буковки $ n $ выражение $ n-1 $. После выполнить раскрытие скобок.

Выносим дробь одну вторую $ frac<1> <2>$ за скобки:

Замечаем, что в скобках есть подобные слагаемые, которые взаимно уничтожаются. Остаются только лишь два из них:

Теперь осталось вычислить предел частичной суммы $ S_n $. Если он существует и конечен, то он является суммой ряда, а сам ряд сходится:

В статье было рассказано: как найти сумму ряда, примеры решений, определение и формулы для двух типов числовых рядов.

В теме про основные понятия числовых рядов было указано определение суммы ряда. Вот оно:

Если понятие "частичная сумма" вызывает вопросы, то советую посмотреть раздел про частичную сумму ряда, обратив внимание на пример №4. В этом примере подробно раскрывается суть частичной суммы и остатка.

В данной теме нас будет интересовать вопрос нахождения сумм числовых рядов по определению. Определение суммы ряда опирается на значение $lim_S_n$, поэтому для нахождения суммы нам нужно выполнить два шага:

1. Составить n-ю частичную сумму $S_n$;
2. Найти $lim_S_n$ (если он существует). Если конечный $lim_S_n$ существует, то его значение и будет суммой рассматриваемого ряда, а сам ряд будет именоваться сходящимся. Если же $lim_S_n=infty$ или $lim_S_n$ не существует, то ряд будет расходиться.

Есть несколько стандартных приёмов, которые применяются для нахождения суммы числовых рядов. Например, для нахождения суммы ряда, общий член которого имеет вид рациональной дроби $u_n=frac$, вполне удобен такой алгоритм:

1. Разложить дробь $frac$ на элементарные дроби (процедура разложения описана тут).
2. Записать выражение для частичной суммы $S_n$, используя результаты предыдущего пункта.
3. Перегруппировать слагаемые в выражении для $S_n$, приведя их к удобному для сокращения виду.
4. Используя результат предыдущего пункта найти $lim_S_n$.

Непосредственное применение указанного выше алгоритма, а также иных способов нахождения суммы ряда, рассмотрим на конкретных примерах. Во всех изложенных ниже примерах члены рядов будем обозначать буквами $u_1$ (первый член ряда), $u_2$ (второй член ряда) и так далее. Запись $u_n$ будет обозначать общий член ряда.

Так как нижний предел суммирования равен 1, то общий член ряда записан под знаком суммы: $u_n=(-1)^$. Составим n-ю частичную сумму ряда, т.е. просуммируем первые $n$ членов числового ряда:

Вопрос в следующем: чему равна эта сумма? Если в частичных суммах мы станем брать чётное количество слагаемых, они попарно сократятся:

Итак, частичная сумма, содержащая чётное количество слагаемых, равна 0. Т.е. если $n$ – чётное число, то $S_n=0$. Фразу "n – чётное число" можно записать так: $n=2k$, $kin N$. В самом деле, подставляя вместо $k$ значения 1, 2, 3, 4 будем получать $n=2cdot 1=2$, $n=2cdot 2=4$, $n=2cdot 3=6$, $n=2cdot 4=8$ и так далее. Итак, $S_<2k>=0$.

Если мы станем брать нечётное количество слагаемых (1, 3, 5 и т.д.), то сумма станет равна 1:

Таким образом, если $n$ – нечётное число, то $S_n=1$. Фразу "n – нечётное число" можно записать так: $n=2k-1$, $kin N$. В самом деле, подставляя вместо $k$ значения 1, 2, 3, 4 будем получать $n=2cdot 1-1=1$, $n=2cdot 2-1=3$, $n=2cdot 3-1=5$, $n=2cdot 4-1=7$ и так далее. Итак, $S_<2k-1>=1$.

Формально равенство $S_<2k-1>=1$ можно доказать с помощью формулы $S_<2k>=S_<2k-1>+u_<2k>$. Так как $S_<2k>=0$, то $S_<2k-1>+u_<2k>=0$, т.е. $S_<2k-1>=-u_<2k>$. Так как $u_<2k>=(-1)^<2k+1>=left((-1)^2
ight)^kcdot (-1)^1=-1$, то $S_<2k-1>=-(-1)=1$.

Возникает вопрос: как быть с пределом $lim_S_n$? Ведь если $n$ – чётное число, т.е. $n=2k$, то:

С другой стороны, если $n$ – нечётное число, то:

Что мы получили? А получили мы следующее: последовательность частичных сумм $$ имеет две подпоследовательности: $\>$ и $<2k>>$, пределы которых различны. Следовательно, последовательность $$ не имеет предела. Вывод: ряд не имеет суммы, т.е. расходится.

Здесь стоит обратить внимание вот на что: следует различать случаи, когда предел равен бесконечности (см. следующий пример №2), и когда предела попросту не существует. Хотя и в том и в другом случаях ряд будет расходиться.

Ответ: ряд расходится.

Найти сумму ряда $sumlimits_^<infty>(3n+1)$.

Так как нижний предел суммирования равен 1, то общий член ряда записан под знаком суммы: $u_n=3n+1$. Составим n-ю частичную сумму ряда, т.е. просуммируем первые $n$ членов заданного числового ряда:

Эту сумму можно записать в более коротком виде. Дело в том, что последовательность 4, 7, 10, 13 и т.д. есть арифметическая прогрессия, первый член которой равен 4, а разность равна 3. Сумма первых n членов этой прогрессии такова:

Так как $lim_S_n=+infty$, то ряд расходится, ибо конечной суммы у данного ряда нет.

Если немного выйти за рамки данной темы, то стоит отметить, что расходимость этого ряда легко доказывается с помощью необходимого признака сходимости.

Ответ: ряд расходится.

Так как нижний предел суммирования равен 1, то общий член ряда записан под знаком суммы: $u_n=frac<2><(2n+1)(2n+3)>$. Составим n-ю частичную сумму ряда, т.е. просуммируем первые $n$ членов заданного числового ряда:

Почему я пишу именно $frac<2><3cdot 5>$, а не $frac<2><15>$, будет ясно из дальнейшего повествования. Однако запись частичной суммы ни на йоту не приблизила нас к цели. Нам ведь нужно найти $lim_S_n$, но если мы просто запишем:

то эта запись, совершенно верная по форме, ничего нам не даст по сути. Чтобы найти предел, выражение частичной суммы предварительно нужно упростить.

Для этого есть стандартное преобразование, состоящее в разложении дроби $frac<2><(2n+1)(2n+3)>$, которая представляет общий член ряда, на элементарные дроби. Вопросу разложения рациональных дробей на элементарные посвящена отдельная тема (см., например, пример №3 на этой странице). Раскладывая дробь $frac<2><(2n+1)(2n+3)>$ на элементарные дроби, будем иметь:

Приравниваем числители дробей в левой и правой частях полученного равенства:

Чтобы найти значения $A$ и $B$ есть два пути. Можно раскрыть скобки и перегруппировать слагаемые, а можно просто подставить вместо $n$ некие подходящие значения. Сугубо для разнообразия в этом примере пойдём первым путём, а следующем – будем подставлять частные значения $n$. Раскрывая скобки и перегруппировывая слагаемые, получим:

В левой части равенства перед $n$ стоит ноль. Если угодно, левую часть равенства для наглядности можно представить как $0cdot n+ 2$. Так как в левой части равенства перед $n$ стоит ноль, а в правой части равества перед $n$ стоит $2A+2B$, то имеем первое уравнение: $2A+2B=0$. Сразу разделим обе части этого уравнения на 2, получив после этого $A+B=0$.

Так как в левой части равенства свободный член равен 2, а в правой части равенства свободный член равен $3A+B$, то $3A+B=2$. Итак, имеем систему:

Можно решать эту систему методом Крамера, методом Гаусса или с помощью обратной матрицы. Однако проще всего банально выразить из первого уравнения $A=-B$ и подставить во второе:

Так как $B=-1$, то $A=-B=1$. Подставляя найденные значения $A=1$ и $B=-1$ в формулу $frac<2><(2n+1)(2n+3)>=frac<2n+1>+frac<2n+3>$, будем иметь:

Итак, $u_n=frac<1><2n+1>-frac<1><2n+3>$. Используем полученное разложение для того, чтобы упростить формулу частичной суммы ряда. Для этого есть два варианта записи решения. Первый вариант стандартный. Второй способ несколько более сложный по форме, но более строгий и лёгкий по сути 🙂 Покажу сначала решение стандартным путём, принятым в большинстве решебников и методичек.

Первый способ упрощения формулы для частичной суммы.

Мы получили разложение общего члена ряда на две дроби: $u_n=frac<1><2n+1>-frac<1><2n+3>$. Чтобы этот результат был более наглядным, я распишу несколько первых членов ряда по этой формуле:

Давайте распишем частичную сумму, учитывая полученное разложение каждого элемента:

Как видите, все слагаемые этой суммы сокращаются, – кроме первого и последнего:

Итак, $S_n=frac<1><3>-frac<1><2n+3>$. Этот способ упрощения формулы для частичной суммы имеет простую суть: разложить общий член ряда на элементарные дроби, а потом сократить слагаемые.

Однако можно ли считать вышеуказанные рассуждения строгим доказательством формулы $S_n=frac<1><3>-frac<1><2n+3>$? Полагаю, что нет, и поясню почему. Дело в том, что мы должны "увидеть" (как любят писать некоторые авторы – "легко увидеть"), что слагаемые сокращаются. А если мы "увидим" не все слагаемые, которые останутся после сокращения? Где гарантии, что мы сократим именно то, что нужно? Нет гарантий. Понятно, что в нашем случае всё тривиально и очевидно, но далеко не все ряды имеют такую простую структуру.

Формулу $S_n=frac<1><3>-frac<1><2n+3>$ можно принять в качестве гипотезы, которую ещё нужно доказать. Доказательство удобнее всего проводить методом математической индукции. Так как доказательством заинтересуются не все читатели, то я его скрыл под примечание.

Доказательство будем проводить методом математической индукции. На первом шаге нужно проверить, выполнено ли доказываемое равенство $S_n=frac<1><3>-frac<1><2n+3>$ при $n=1$. Мы знаем, что $S_1=u_1=frac<2><15>$, но даст ли выражение $frac<1><3>-frac<1><2n+3>$ значение $frac<2><15>$, если подставить в него $n=1$? Проверим:

Итак, при $n=1$ равенство $S_n=frac<1><3>-frac<1><2n+3>$ выполнено. На этом первый шаг метода математической индукции закончен.

Предположим, что при $n=k$ равенство выполнено, т.е. $S_k=frac<1><3>-frac<1><2k+3>$. Докажем, что это же равенство будет выполнено при $n=k+1$. Для этого рассмотрим $S_$:

Так как $u_n=frac<1><2n+1>-frac<1><2n+3>$, то $u_=frac<1><2(k+1)+1>-frac<1><2(k+1)+3>=frac<1><2k+3>-frac<1><2(k+1)+3>$. Согласно сделанному выше предположению $S_k=frac<1><3>-frac<1><2k+3>$, поэтому формула $S_=S_k+u_$ примет вид:

Вывод: формула $S_n=frac<1><3>-frac<1><2n+3>$ верна при $n=k+1$. Следовательно, согласно методу математической индукции, формула $S_n=frac<1><3>-frac<1><2n+3>$ верна при любом $nin N$. Равенство доказано.

В стандартном курсе высшей математики обычно довольствуются "вычёркиванием" сокращающихся слагаемых, не требуя никаких доказательств. Итак, мы получили выражение для n-й частичной суммы: $S_n=frac<1><3>-frac<1><2n+3>$. Найдём значение $lim_S_n$:

Вывод: заданный ряд сходится и сумма его $S=frac<1><3>$.

Второй способ упрощения формулы для частичной суммы.

Честно говоря, я сам предпочитаю именно этот способ 🙂 Давайте запишем частичную сумму в сокращённом варианте:

Мы получили ранее, что $u_k=frac<1><2k+1>-frac<1><2k+3>$, поэтому:

Сумма $S_n$ содержит конечное количество слагаемых, поэтому мы можем переставлять их так, как нам заблагорассудится. Я хочу сначала сложить все слагаемые вида $frac<1><2k+1>$, а уж затем переходить к слагаемым вида $frac<1><2k+3>$. Это означает, что частичную сумму мы представим в таком виде:

Конечно, развёрнутая запись крайне неудобна, поэтому представленное выше равенство можно оформить более компактно:

Теперь преобразуем выражения $frac<1><2k+1>$ и $frac<1><2k+3>$ к одному виду. Я полагаю удобным приводить к виду большей дроби (хотя можно и к меньшей, это дело вкуса). Так как $frac<1><2k+1>>frac<1><2k+3>$ (чем больше знаменатель, тем меньше дробь), то будем приводить дробь $frac<1><2k+3>$ к виду $frac<1><2k+1>$.

Выражение в знаменателе дроби $frac<1><2k+3>$ я представлю в таком виде:

И сумму $sumlimits_^frac<1><2k+3>$ теперь можно записать так:

Если равенство $sumlimits_^frac<1><2k+3>=sumlimits_^frac<1><2k+1>$ не вызывает вопросов, то пойдём далее. Если же вопросы есть, то прошу развернуть примечание.

Как мы получили преобразованную сумму? показатьскрыть

У нас был ряд $sumlimits_^frac<1><2k+3>=sumlimits_^frac<1><2(k+1)+1>$. Давайте вместо $k+1$ введём новую переменную, – например, $t$. Итак, $t=k+1$.

Как изменялась старая переменная $k$? А изменялась она от 1 до $n$. Давайте выясним, как же будет изменяться новая переменная $t$. Если $k=1$, то $t=1+1=2$. Если же $k=n$, то $t=n+1$. Итак, выражение $sumlimits_^frac<1><2(k+1)+1>$ теперь стало таким: $sumlimits_^frac<1><2t+1>$.

У нас есть сумма $sumlimits_^frac<1><2t+1>$. Вопрос: а не всё ли равно, какую букву использовать в этой сумме? 🙂 Банально записывая букву $k$ вместо $t$, получим следующее:

Вот так и получается равенство $sumlimits_^frac<1><2(k+1)+1>=sumlimits_^frac<1><2k+1>$.

Таким образом, частичную сумму можно представить в следующем виде:

Заметьте, что суммы $sumlimits_^frac<1><2k+1>$ и $sumlimits_^frac<1><2k+1>$ отличаются лишь пределами суммирования. Сделаем эти пределы одинаковыми. "Забирая" первый элемент из суммы $sumlimits_^frac<1><2k+1>$ будем иметь:

"Забирая" последний элемент из суммы $sumlimits_^frac<1><2k+1>$, получим:

Тогда выражение для частичной суммы примет вид:

Если пропустить все пояснения, то процесс нахождения сокращённой формулы для n-й частичной суммы примет такой вид:

Напомню, что мы приводили дробь $frac<1><2k+3>$ к виду $frac<1><2k+1>$. Разумеется, можно поступить и наоборот, т.е. представить дробь $frac<1><2k+1>$ в виде $frac<1><2k+3>$. Конечное выражение для частичной суммы не изменится. Процесс нахождения частичной суммы в этом случае я скрою под примечание.

Как найти $S_n$, если приводить к виду иной дроби? показатьскрыть

Заданный ряд сходится и сумма его $S=frac<1><3>$.

Продолжение темы нахождения суммы ряда будет рассмотрено во второй и третьей частях.

Введите данные для подчета суммы ряда

Найдем сумму ряда чисел. Если не получается ее найти, то система вычисляет сумму ряда с определенной точностью.

Сходимость ряда

Данный калькулятор умеет определять — сходится ли ряд, также показывает — какие признаки сходимости срабатывают, а какие — нет.

Также умеет определять сходимость степенных рядов.

Также строится график ряда, где можно увидеть скорость сходимости ряда (или расходимости).

Правила ввода выражений и функций

© Контрольная работа РУ — калькуляторы онлайн