Как записать дробь в виде натурального числа

Ответ

Проверено экспертом

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Натуральное число это всякое целое положительное число.Натуральные числа это числа начиная с 1 до 9. С их помощью можно записать любое натуральное число.Наименьшее натуральное число это 1.

Правильная дробь -это число вида m/n, где m и n — натуральные числа.

Учитывая то, что натуральное число -это целое число, то обыкновенную дробь нельзя представить в виде натурального числа.

Если у нас смешанная дробь, например 12/5, то ее можно представить в виде суммы натурального числа и обыкновенной дроби.

13>

Дробь в математике — число, состоящее из одной или нескольких равных частей (долей) единицы [1] . Дроби являются частью поля рациональных чисел. По способу записи дроби делятся на два формата: обыкновенные вида ± m n <displaystyle pm <frac >> и десятичные вида 0,123 4 <displaystyle 0<,>1234> .

В записи дроби вида X / Y <displaystyle X/Y> или X Y <displaystyle <frac >> число перед (над) чертой называется числителем, а число после черты (под чертой) — знаменателем. Первый играет роль делимого, второй — делителя.

Содержание

Виды дробей [ править | править код ]

Обыкновенные дроби [ править | править код ]

Обыкновенная (или простая) дробь — запись рационального числа в виде ± m n <displaystyle pm <frac >> или ± m / n , <displaystyle pm m/n,> где n ≠ 0. <displaystyle n
eq 0.> Горизонтальная или косая черта обозначает знак деления, в результате которого получается частное. Делимое называется числителем дроби, а делитель — знаменателем.

Обозначения обыкновенных дробей [ править | править код ]

Есть несколько видов записи обыкновенных дробей в печатном виде:

• ½,
• 1/2 или 1 / 2 <displaystyle ^<1>!/_<2>>(наклонная черта называется «солидус» [2] ),
• выключная формула: 1 2 <displaystyle <frac <1><2>>>,
• строчная формула: 1 2 <displaystyle < frac <1><2>>>.

Правильные и неправильные дроби [ править | править код ]

Правильной называется дробь, у которой модуль числителя меньше модуля знаменателя. Дробь, у которой модуль числителя больше модуля знаменателя или равен ему, называется неправильной и представляет собой рациональное число, по модулю большее или равное единице.

Например, дроби 3 5 <displaystyle <frac <3><5>>> , 7 8 <displaystyle <frac <7><8>>> и 1 2 <displaystyle <frac <1><2>>> — правильные, в то время как 8 3 <displaystyle <frac <8><3>>> , 9 5 <displaystyle <frac <9><5>>> , 2 1 <displaystyle <frac <2><1>>> и 1 1 <displaystyle <frac <1><1>>> — неправильные. Всякое отличное от нуля целое число можно представить в виде неправильной обыкновенной дроби со знаменателем 1.

Смешанные дроби [ править | править код ]

Дробь, записанная в виде целого числа и правильной дроби, называется смешанной дробью и понимается как сумма этого числа и дроби. Любое рациональное число можно записать в виде смешанной дроби. В противоположность смешанной дроби, дробь, содержащая лишь числитель и знаменатель, называется простой.

Например, 2 3 7 = 2 + 3 7 = 14 7 + 3 7 = 17 7 <displaystyle 2<frac <3><7>>=2+<frac <3><7>>=<frac <14><7>>+<frac <3><7>>=<frac <17><7>>> . В строгой математической литературе такую запись предпочитают не использовать из-за схожести обозначения смешанной дроби с обозначением произведения целого числа на дробь, а также из-за более громоздкой записи и менее удобных вычислений.

Составные дроби [ править | править код ]

Многоэтажной, или составной, дробью называется выражение, содержащее несколько горизонтальных (или реже — наклонных) черт:

1 2 / 1 3 <displaystyle <frac <1><2>><igg /><frac <1><3>>> или 1 / 2 1 / 3 <displaystyle <frac <1/2><1/3>>> или 12 3 4 26 <displaystyle <frac <12<frac <3><4>>><26>>> .

Десятичные дроби [ править | править код ]

Десятичной дробью называют позиционную запись дроби. Она выглядит следующим образом:

± a 1 a 2 … a n , b 1 b 2 … <displaystyle pm a_<1>a_<2>dots a_<,>b_<1>b_<2>dots >

Пример: 3,141 5926 <displaystyle 3<,>1415926> .

Часть записи, которая стоит до позиционной запятой, является целой частью числа (дроби), а стоящая после запятой — дробной частью. Всякую обыкновенную дробь можно преобразовать в десятичную, которая в этом случае либо имеет конечное число знаков после запятой, либо является периодической дробью.

Вообще говоря, для позиционной записи числа́ можно использовать не только десятичную систему счисления, но и другие (в том числе и специфические, такие, как фибоначчиева).

Значение дроби и основное свойство дроби [ править | править код ]

Дробь является всего лишь записью числа. Одному и тому же числу могут соответствовать разные дроби, как обыкновенные, так и десятичные.

Если умножить числитель и знаменатель дроби на одинаковую величину:

P R = C ⋅ P C ⋅ R <displaystyle <frac

>=<frac >>

то значение дроби останется прежним, хотя дроби — разные. Например:

3 4 = 9 12 = 12 16 <displaystyle <frac <3><4>>=<frac <9><12>>=<frac <12><16>>>

И обратно, если числитель и знаменатель заданной дроби имеют общий делитель, то обе части можно разделить на него; такая операция называется сокращением дроби. Пример:

12 16 = 12 : 4 16 : 4 = 3 4 <displaystyle <frac <12><16>>=<frac <12:4><16:4>>=<frac <3><4>>> — здесь числитель и знаменатель дроби сократили на общий делитель 4.

Несократимой называется дробь, числитель и знаменатель которой взаимно просты, то есть не имеют общих делителей, кроме ± 1. <displaystyle pm 1.>

Для десятичной дроби запись почти всегда однозначна, однако имеются исключения. Пример:

0 , 999. = 1 <displaystyle 0,!999. =1> — две разные дроби соответствуют одному числу.

Действия с дробями [ править | править код ]

В этом разделе рассматриваются действия над обыкновенными дробями. О действиях над десятичными дробями см. Десятичная дробь.

Приведение к общему знаменателю [ править | править код ]

Для сравнения, сложения и вычитания дробей их следует преобразовать (привести) к виду с одним и тем же знаменателем. Пусть даны две дроби: a b <displaystyle <frac >> и c d <displaystyle <frac >> . Порядок действий:

• Находим наименьшее общее кратное знаменателей: M = [ b , d ] <displaystyle M=[b,d]>.
• Умножаем числитель и знаменатель первой дроби на M / b <displaystyle M/b>.
• Умножаем числитель и знаменатель второй дроби на M / d <displaystyle M/d>.

После этого знаменатели обеих дробей совпадают (равны M). Вместо наименьшего общего кратного можно в простых случаях взять в качестве M любое другое общее кратное, например, произведение знаменателей. Пример см. ниже в разделе Сравнение.

Сравнение [ править | править код ]

Чтобы сравнить две обыкновенные дроби, следует привести их к общему знаменателю и сравнить числители получившихся дробей. Дробь с бо́льшим числителем будет больше.

Пример. Сравниваем 3 4 <displaystyle <frac <3><4>>> и 4 5 <displaystyle <frac <4><5>>> . НОК(4, 5) = 20. Приводим дроби к знаменателю 20.

3 4 = 15 20 ; 4 5 = 16 20 <displaystyle <frac <3><4>>=<frac <15><20>>;quad <frac <4><5>>=<frac <16><20>>>

Следовательно, 3 4 4 5 <displaystyle <frac <3><4>>

Сложение и вычитание [ править | править код ]

Чтобы сложить две обыкновенные дроби, следует привести их к общему знаменателю. Затем сложить числители, а знаменатель оставить без изменений:

НОК знаменателей (здесь 2 и 3) равно 6. Приводим дробь 1 2 <displaystyle <frac <1><2>>> к знаменателю 6, для этого числитель и знаменатель надо умножить на 3.
Получилось 3 6 <displaystyle <frac <3><6>>> . Приводим дробь 1 3 <displaystyle <frac <1><3>>> к тому же знаменателю, для этого числитель и знаменатель надо умножить на 2. Получилось 2 6 <displaystyle <frac <2><6>>> .
Чтобы получить разность дробей, их также надо привести к общему знаменателю, а затем вычесть числители, знаменатель при этом оставить без изменений:

НОК знаменателей (здесь 2 и 4) равно 4. Приводим дробь 1 2 <displaystyle <frac <1><2>>> к знаменателю 4, для этого надо числитель и знаменатель умножить на 2. Получаем 2 4 <displaystyle <frac <2><4>>> .

Умножение и деление [ править | править код ]

Чтобы умножить две обыкновенные дроби, нужно перемножить их числители и знаменатели:

a b ⋅ c d = a c b d . <displaystyle <frac >cdot <frac >=<frac >.>

В частности, чтобы умножить дробь на натуральное число, надо числитель умножить на число, а знаменатель оставить тем же:

2 3 ⋅ 3 = 6 3 = 2 <displaystyle <frac <2><3>>cdot 3=<frac <6><3>>=2>

В общем случае, числитель и знаменатель результирующей дроби могут не быть взаимно простыми, и может потребоваться сокращение дроби, например:

5 8 ⋅ 2 5 = 10 40 = 1 4 . <displaystyle <frac <5><8>>cdot <frac <2><5>>=<frac <10><40>>=<frac <1><4>>.>

Чтобы поделить одну обыкновенную дробь на другую, нужно умножить первую дробь на дробь, обратную второй:

a b : c d = a b ⋅ d c = a d b c , b , c , d ≠ 0. <displaystyle <frac >:<frac >=<frac >cdot <frac >=<frac >,quad b,c,d
eq 0.>

1 2 : 1 3 = 1 2 ⋅ 3 1 = 3 2 . <displaystyle <frac <1><2>>:<frac <1><3>>=<frac <1><2>>cdot <frac <3><1>>=<frac <3><2>>.>

Преобразование между разными форматами записи [ править | править код ]

Чтобы преобразовать обыкновенную дробь в дробь десятичную, следует разделить числитель на знаменатель. Результат может иметь конечное число десятичных знаков, но может быть и бесконечной периодической дробью. Примеры:

1 2 = 5 10 = 0 , 5 <displaystyle <frac <1><2>>=<frac <5><10>>=0<,>5> 1 7 = 0,142 857142857142857 ⋯ = 0 , ( 142857 ) <displaystyle <frac <1><7>>=0<,>142857142857142857dots =0<,>(142857)> — бесконечно повторяющийся период принято записывать в круглых скобках.

Чтобы преобразовать десятичную дробь в дробь обыкновенную, следует представить её дробную часть в виде натурального числа, делённого на соответствующую степень 10. Затем к результату приписывается целая часть со знаком, формируя смешанную дробь. Пример:

71,147 5 = 71 + 1475 10000 = 71 1475 10000 = 71 59 400 <displaystyle 71<,>1475=71+<frac <1475><10000>>=71<frac <1475><10000>>=71<frac <59><400>>>

История и этимология термина [ править | править код ]

Русский термин дробь, как и его аналоги в других языках, происходит от лат. fractura , который, в свою очередь, является переводом арабского термина с тем же значением: ломать, раздроблять. Фундамент теории обыкновенных дробей заложили греческие и индийские математики. Через арабов термин, в переводе на латинский, перешёл в Европу, он упоминается уже у Фибоначчи (1202 год). Слова числитель и знаменатель ввёл в оборот греческий математик Максим Плануд.

Дроби вычислялись ещё в Древнем Египте. До наших дней сохранились математические источники о египетских дробях: Математический папирус Ринда (ок. 1650 год до н. э.) [3] , Египетский математический кожаный свиток (XVII век до н. э.) [4] , Московский математический папирус (ок. 1850 год до н.э.), Деревянная табличка из Ахмима ( англ. ) (ок. 1950 год до н.э.) [5] .

В Китае обыкновенные дроби встречаются в труде «Математика в девяти книгах» (X-II в до н. э.), отредактированной во II в до н. э. финансовым чиновником Чжан Цаном . Десятичные дроби впервые встречаются в Китае примерно с III века н. э. при вычислениях на счётной доске (суаньпань). В письменных источниках десятичные дроби ещё некоторое время изображали в традиционном (не позиционном) формате, но постепенно позиционная система вытеснила традиционную [6] . Персидский математик и астроном Джамшид Гияс-ад-дин ал-Каши (1380—1429) в трактате «Ключ арифметики» (1427 г.) объявил себя изобретателем десятичных дробей, хотя они встречались в трудах Ал-Уклидиси, жившего на пять веков раньше [7] .

Поначалу европейские математики оперировали только с обыкновенными дробями, а в астрономии — с шестидесятеричными. Современное обозначение обыкновенных дробей происходит из Древней Индии — вначале его позаимствовали арабы, а затем, в XII-XVI веках, — европейцы. Вначале в дробях не использовалась дробная черта: числа 1 4 , 2 1 5 <displaystyle < frac <1><4>>,2< frac <1><5>>> записывались таким способом: 1 4 , 2 I 5 . <displaystyle <egin1\4end>,<egin2\mathrm \5end>.> Использование черты дроби стало постоянным лишь около 300 лет назад. В Европе первым учёным, который использовал и распространял индийскую систему счёта (известную как «арабские цифры»), в том числе способ записи дробей, стал итальянский купец, путешественник, сын городского писаря — Фибоначчи (Леонардо Пизанский) [8] . Полноценная теория обыкновенных дробей и действий с ними сложилась в XVI веке (Тарталья, Клавиус).

В Европе первые десятичные дроби ввёл Иммануил Бонфис около 1350 года, но широкое распространение они получили только после появления сочинения Симона Стевина «Десятая» (1585). Стевин записывал десятичные дроби сложными способами: например, число 42,53 записывалось как 4 0 2 5 1 3 2 <displaystyle <overset <underset <0><>><4>>2

<overset <underset <2><>><3>>> или 42 ⓪ 5 ① 3 ②, где в круге или над строкой означал целую часть, 1 — десятые, 2 — сотые, и так далее. Запятую для отделения целой части стали использовать с XVII века [8] .

На Руси дроби называли долями. В первых российских учебниках математики — в XVII веке — дроби назывались ломаными числами [8] . Термин дробь, как аналог латинского fractura, используется в «Арифметике» Магницкого (1703) как для обыкновенных, так и для десятичных дробей.

Аналогично можно записать:

каждую из неправильных дробей

Так можно записать любую неправильную дробь, у которой числитель не делится на знаменатель.

Такие суммы, как

Дробная часть смешанного числа − это правильная дробь.

Вот еще примеры смешанных чисел:

Отметим, что, например, числа:

Научимся записывать неправильную дробь в виде смешанного числа, т.е. выделять (находить) его целую и дробные части.

Рассмотрим, например число

Если выполнить деление с остатком числа 22 на число 5, то получим 22 = 4 * 5 + 2, где число 4 − неполное частное, число 2 − остаток, т.е. 22 = 20 + 2 .

Заметим, что число 4 и есть ццелая часть смешанного числа, а число 2 − числитель его дробной части.

Чтобы неправильную дробь, числитель которой нацело не делится на знаменатель, преобразовать в смешанное число, надо числитель разделить на знаменатель; полученное неполное частное записать как целую часть смешанного числа, а остаток − как числитель его дробной части.

Любую неправильную дробь, у которой числитель нацело делится на знаемнатель, можно представить в виде смешанного числа.

Если числитель неправильной дроби делится нацело на знаменатель, то эта дробь равна натуральному числу. Например:

Пример 1 . Преобразуйте неправильную дробь

Решение. Разделим числитель дроби на знаменатель:

Неполное частное 16 − это целая часть числа, а остаток 4 − числитель дробной части. Следовательно,

Преобразуем смешанное число

Чтобы преобразовать смешанное число в неправильную дробь, надо целую часьт числа умножить на знаменатель дробной части и к полученному произведению прибавить числитель дробной части; эту сумму записать как числитель неправильной дроби, а в ее знаемнатель записать знаменатель дробной части смешанного числа.

Отметим, что свойства сложения натуральных чисел выполняются и для дробных чисел:

a + b = b + a − переместительное свойство сложения,

(a + b) + c = a + (b + c) − сочетательное свойство сложения.

Воспользовавшись этими свойствами, найдем сумму