Как выразить из формулы переменную 8 класс

  • 5 — 9 классы
  • Алгебра
  • 5 баллов

Объясните пожалуйста как из формулы выразить переменную?

  • Попроси больше объяснений
  • Следить
  • Отметить нарушение

Yarepkina 01.04.2013

Ответ

Проверено экспертом

выразить переменную — это сделать такие преобразования ,чтобы в итоге с одной стороны равенства стояла нужная переменная, а с другой — все остальное (только ни в коем случае, во второй части не должно быть нужной нам переменной)

например, дана формула:

если нам нужно выразить х, то:

если нам нужно выразить у, то:

соответственно, если нам нужно выразить z, то

В случаях, когда переменная в формуле представлена в разных местах, для нужного нам представления (в одной части переменная, а в другой — все остальное) потребуется сделать немало упрощений, найти корни уравнений, и т.д.

Например, дана формула:
х²-2ах+а²=0

надо выразить х

преобразуем формулу: х²-2ах+а² = (х-а)²=0

|х|=|а|, тут преобразование нас подводит к тому, что у нас есть две возможности выразить х и обе будут соответствовать первоначальной формуле:

в таких ситуациях учитывают обе возможности и решают дальше последовательно сначала один вариант, потом другой.

Этот урок – полезное дополнение к предыдущей теме » Тождественные преобразования уравнений ".

Умение делать такие вещи – штука не просто полезная, она – необходимая. Во всех разделах математики, от школьной до высшей. Да и в физике тоже. Именно по этой причине задания подобного рода обязательно присутствуют и в ЕГЭ и в ОГЭ. Во всех уровнях – как базовом, так и профильном.

Собственно, вся теоретическая часть подобных заданий представляет собой одну единственную фразу. Универсальную и простую до безобразия.

Удивляемся, но запоминаем:

Любое равенство с буквами, любая формула – это ТОЖЕ УРАВНЕНИЕ!

А где уравнение, там автоматически и тождественные преобразования уравнений . Вот и применяем их в удобном нам порядке и – готово дело.) Читали предыдущий урок? Нет? Однако… Тогда эта ссылочка – для вас.

Ах, вы в курсе? Отлично! Тогда применяем теоретические знания на практике.

Начнём с простого.

Как выразить одну переменную через другую?

Такая задача постоянно возникает при решении систем уравнений. Например, имеется равенство:

Здесь две переменные – икс и игрек.

Что означает это задание? Оно означает, что мы должны получить некоторое равенство, где слева стоит чистый икс. В гордом одиночестве, безо всяких соседей и коэффициентов. А справа – что уж получится.

И как же нам получить такое равенство? Очень просто! С помощью всё тех же старых добрых тождественных преобразований! Вот и применяем их в удобном нам порядке, шаг за шагом добираясь до чистого икса.

Анализируем левую часть уравнения:

Здесь нам мешаются тройка перед иксом и —2y. Начнём с —, это попроще будет.

Перекидываем — из левой части в правую. Меняя минус на плюс, разумеется. Т.е. применяем первое тождественное преобразование:

Полдела сделано. Осталась тройка перед иксом. Как от неё избавиться? Разделить обе части на эту самую тройку! Т.е. задействовать второе тождественное преобразование.

Вот и всё. Мы выразили икс через игрек. Слева – чистый икс, а справа – что уж получилось в результате "очищения" икса.

Можно было бы сначала поделить обе части на тройку, а затем – переносить. Но это привело бы к появлению дробей в процессе преобразований, что не очень удобно. А так, дробь появилась лишь в самом конце.

Напоминаю, что порядок преобразований никакой роли не играет. Как нам удобно, так и делаем. Самое главное – не порядок применения тождественных преобразований, а их правильность!

А можно из этого же равенства

А почему – нет? Можно! Всё то же самое, только на этот раз нас интересует слева чистый игрек. Вот и очищаем игрек от всего лишнего.

Первым делом избавляемся от выражения . Перебрасываем его в правую часть:

Осталась двойка с минусом. Делим обе части на (-2):

Читайте также:  Как отключить подписки на модеме мегафон

И все дела.) Мы выразили y через х. Переходим к более серьёзным заданиям.

Как выразить переменную из формулы?

Не проблема! Точно так же! Если понимать, что любая формула – тоже уравнение.

Например, такое задание:

выразить переменную с.

Формула – тоже уравнение! Задание означает, что через преобразования из предложенной формулы нам надо получить какую-то новую формулу. В которой слева будет стоять чистая с, а справа – что уж получится, то и получится…

Однако… Как нам эту самую с вытаскивать-то?

Как-как… По шагам! Ясное дело, что выделить чистую с сразу невозможно: она в дроби сидит. А дробь умножается на r… Значит, первым делом очищаем выражение с буквой с, т.е. всю дробь целиком. Здесь можно поделить обе части формулы на r.

Следующим шагом надо вытащить с из числителя дроби. Как? Легко! Избавимся от дроби. Нету дроби – нету и числителя.) Умножаем обе части формулы на 2:

Осталась элементарщина. Обеспечим справа букве с гордое одиночество. Для этого переменные a и b переносим влево:

Вот и всё, можно сказать. Осталось переписать равенство в привычном виде, слева направо и – ответ готов:

Это было несложное задание. А теперь задание на основе реального варианта ЕГЭ:

Локатор батискафа, равномерно погружающегося вертикально вниз, испускает ультразвуковые импульсы частотой 749 МГц. Скорость погружения батискафа вычисляется по формуле

где с = 1500 м/с – скорость звука в воде,

f – частота отражённого от дна сигнала, регистрируемая приёмником (в МГц).

Определите частоту отражённого сигнала в МГц, если скорость погружения батискафа равна 2 м/с.

"Многа букафф", да… Но буквы – это лирика, а общая суть всё равно та же самая. Первым делом надо выразить эту самую частоту отражённого сигнала (т.е. букву f) из предложенной нам формулы. Вот этим и займёмся. Смотрим на формулу:

Напрямую, естественно, букву f никак не выдернешь, она снова в дробь запрятана. Причём и в числитель и в знаменатель. Поэтому самым логичным шагом будет избавиться от дроби. А там – видно будет. Для этого применяем второе преобразование – умножаем обе части на знаменатель.

А вот тут – очередные грабли. Прошу обратить внимание на скобки обеих частях! Частенько именно в этих самых скобочках и кроются ошибки в подобных заданиях. Точнее, не в самих скобочках, а в их отсутствии.)

Скобки слева означают, что буква v умножается на весь знаменатель целиком. А не на его отдельные кусочки…

Справа же, после умножения, дробь исчезла и остался одинокий числитель. Который, опять же, весь целиком умножается на буковку с. Что и выражается скобками в правой части.)

А вот теперь скобки и раскрыть можно:

Дальше дело нехитрое. Всё что с f собираем слева, а всё что без f – справа. Займёмся переносом:

Отлично. Процесс идёт.) Теперь буковка f слева стала общим множителем. Выносим её за скобки:

Осталось всего ничего. Делим обе части на скобку (vc) и – дело в шляпе!

В принципе, всё готово. Переменная f уже выражена. Но можно дополнительно "причесать" полученное выражение – вынести f за скобку в числителе и сократить всю дробь на (-1), тем самым избавившись от лишних минусов:

Вот такое выражение. А вот теперь и числовые данные подставить можно. Получим:

Вот и всё. Надеюсь, общая идея понятна.

Делаем элементарные тождественные преобразования с целью уединить интересующую нас переменную. Главное здесь — не последовательность действий (она может быть любой), а их правильность.

В этих двух уроках рассматриваются лишь два базовых тождественных преобразования уравнений. Они работают всегда. На то они и базовые. Помимо этой парочки, существует ещё множество других преобразований, которые тоже будут тождественными, но не всегда, а лишь при определённых условиях.

Например, возведение обеих частей уравнения (или формулы) в квадрат (или наоборот, извлечение корня из обеих частей) будет тождественным преобразованием, если обе части уравнения заведомо неотрицательны.

Или, скажем, логарифмирование обеих частей уравнения будет тождественным преобразованием, если обе части заведомо положительны. И так далее…

Читайте также:  Как переключить на английскую раскладку

Подобные преобразования будут рассматриваться в соответствующих темах.

А здесь и сейчас — примеры для тренировки по элементарным базовым преобразованиям.

Средняя скорость лыжника (в км/ч) на дистанции в два круга рассчитывается по формуле:

где V1 и V2 – средние скорости (в км/ч) на первом и втором кругах соответственно. Какова была средняя скорость лыжника на втором круге, если известно, что первый круг лыжник пробежал со скоростью 15 км/ч, а средняя скорость на всей дистанции оказалась равной 12 км/ч?

Задача на основе реального варианта ОГЭ:

Центростремительное ускорение при движении по окружности (в м/с 2 ) можно вычислить по формуле a=ω 2 R, где ω – угловая скорость (в с -1 ), а R – радиус окружности. Пользуясь этой формулой, найдите радиус R (в метрах), если угловая скорость равна 8,5 с -1 , а центростремительное ускорение равно 289 м/с 2 .

Задача на основе реального варианта профильного ЕГЭ:

К источнику с ЭДС ε=155 В и внутренним сопротивлением r=0,5 Ом хотят подключить нагрузку с сопротивлением R Ом. Напряжение на этой нагрузке, выражаемое в вольтах, даётся формулой:

При каком сопротивлении нагрузки напряжение на ней будет 150 В? Ответ выразите в омах.

Ответы (в беспорядке): 4; 15; 2; 10.

А уж где числа, километры в час, метры, омы – это как-нибудь сами…)

Привлекайте внимание посетителей к Вашему магазину, публикуя новости о Вашей компании и товарах!

Привлекайте внимание посетителей к Вашему магазину, публикуя новости о Вашей компании и товарах!

Привлекайте внимание посетителей к Вашему магазину, публикуя новости о Вашей компании и товарах!

Идёт приём заявок

Подать заявку

Для учеников 1-11 классов и дошкольников

Муниципальное автономное общеобразовательное учреждение

«Видновский художественно-технический лицей»

по математике (алгебре)

Составитель: Литвинова Ирина Анатольевна,

2018-2019 учебный год.

Требования к уровню подготовки учащихся…………………………………………..4

Календарно-тематическое планирование……………………………………………. 6

Учебно-методическое обеспечение .…………………………………………………..10

Рабочая п рограмма предназначена для учащихся 8 классов общеобразовательной школы для изучения алгебры на базовом уровне на основе авторской программы по алгебре для 7 классов (автор Ю.Н.Макарычев );

Данная программа рассчитана 99 часа на 3 урока (33 недели в год) алгебры в неделю при шестидневной учебной неделе. По учебному МАОУ «ВХТЛ» на 2016-2017 уч.год выделяется 3 часа в неделю, 99 часа в год (33 недели в год) алгебры при шестидневной учебной неделе.

При выборе программы учитывалось следующее:

соответствие требованиям общеобразовательного стандарта и примерной программе по математике, полное и детальное отображение всех ее тем;

программа конкретизирует содержание предметных тем образовательного стандарта и дает распределение учебных часов по разделам курса.

Информационнометодическая функция программы позволяет всем участникам образовательного процесса получить представление о целях, содержании, общей стратегии обучения, воспитания и развития учащихся средствами данного учебного предмета.

Организационно-планирующая функция предусматривает выделение этапов обучения, структурирование учебного материала, определение его количественных и качественных характеристик на каждом из этапов, в том числе для содержательного наполнения промежуточной аттестации учащихся.

развивать представление о числе и роли вычислений в практической деятельности; систематизировать сведения о рациональных числах;

сформировать навыки устных и письменных вычислений, развивать вычислительную культуру;

выработать умение решать квадратные уравнения, линейные неравенства и их системы, выполнять тождественные преобразования рациональных выражений и выражений, содержащих квадратные корни;

изучить свойства и графики элементарных функций;

выработать умение применять свойства степени с целым показателем в тождественных преобразованиях;

развивать интерес к познавательной и творческой деятельности учащихся;

развивать логическое мышление и речь, использовать различные языки математики (словесный, символический, графический) для иллюстрации, аргументации и доказательства;

формировать представления об изучаемых понятиях и методах как важнейших средствах математического моделирования реальных процессов и явлений.

Содержание тем учебного курса

Рациональные дроби – 20 часов.

Рациональная дробь. Основное свойство дроби, сокращение дробей. Тождественные преобразования рациональных выражений. Функция и её график.

Квадратные корни – 21 час.

Читайте также:  Как научиться играть на геймпаде в шутеры

Понятие об иррациональных числах. Общие сведения о действительных числах. Квадратный корень. Понятие о нахождении приближенного значения квадратного корня. Свойства квадратных корней. Преобразование выражений, содержащих квадратные корни. Функция и ее график.

Квадратные уравнения – 22 часа.

Квадратное уравнение. Формула корней квадратного уравнения. Решение рациональных уравнений. Решение задач, приводящих к квадратным уравнениям и простейшим рациональным уравнениям.

Неравенства – 20 часов.

Числовые неравенства и их свойства. Почленное сложение и умножение числовых неравенств. Погрешность и точность приближения. Линейные неравенства с одной переменной и их системы.

Степень с целым показателем. Элементы статистики – 11 часов.

Степень с целым показателем и ее свойства. Стандартный вид числа. Начальные сведения об организации статистических исследований.

Повторение – 5 часов.

Требования к уровню подготовки учащихся, обучающихся по данной программе.

В результате изучения курса алгебры 8 класса учащиеся должны знать/понимать:

существо понятия математического доказательства; приводить примеры доказательств;

существо понятия алгоритма; приводить примеры алгоритмов;

как используются математические формулы, уравнения и неравенства; примеры их применения для решения математических и практических задач;

как математически определенные функции могут описывать реальные зависимости; приводить примеры такого описания;

как потребности практики привели математическую науку к необходимости расширения понятия числа;

вероятностный характер многих закономерностей окружающего мира; примеры статистических закономерностей и выводов.

В результате изучения курса алгебры 8 класса учащиеся должны уметь:

составлять буквенные выражения и формулы по условиям задач; осуществлять в выражениях и формулах числовые подстановки и выполнять соответствующие вычисления, осуществлять подстановку одного выражения в другое; выражать из формул одну переменную через остальные;

выполнять основные действия со степенями с целыми показателями, с многочленами и с алгебраическими дробями; выполнять разложение многочленов на множители; выполнять тождественные преобразования рациональных выражений;

применять свойства арифметических квадратных корней для вычисления значений и преобразований числовых выражений, содержащих квадратные корни;

решать линейные, квадратные уравнения и рациональные уравнения, сводящиеся к ним, системы двух линейных уравнений и несложные нелинейные системы;

решать линейные и квадратные неравенства с одной переменной и их системы,

решать текстовые задачи алгебраическим методом, интерпретировать полученный результат, проводить отбор решений, исходя из формулировки задачи;

изображать числа точками на координатной прямой;

определять координаты точки плоскости, строить точки с заданными координатами; изображать множество решений линейного неравенства;

распознавать арифметические и геометрические прогрессии; решать задачи с применением формулы общего члена и суммы нескольких первых членов;

находить значения функции, заданной формулой, таблицей, графиком по ее аргументу; находить значение аргумента по значению функции, заданной графиком или таблицей;

определять свойства функции по ее графику; применять графические представления при

описывать свойства изученных функций, строить их графики;

Использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для:

выполнения расчетов по формулам, для составления формул, выражающих зависимости между реальными величинами; для нахождения нужной формулы в справочных материалах;

моделирования практических ситуаций и исследовании построенных моделей с использованием аппарата алгебры;

описания зависимостей между физическими величинами соответствующими формулами, при исследовании несложных практических ситуаций.

Плановых контрольных работ — 10 по следующим темам:

№ 1. Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями.

№ 2. Преобразование выражений.

№ 3. Квадратные корни.

№ 4. Преобразование выражений, содержащих корни

№ 5. Квадратные уравнения

№ 6. Дробно рациональные уравнения

№ 7. Свойства неравенств

№ 8. Неравенства и их системы

№ 9. Степень. Элементы статистики

№ 10. Итоговая контрольная работа

Календарно – тематическое планирование по алгебре в 8 классе (3 часа в неделю, всего 102 часа)

Плановые сроки прохождения

Скорректированные сроки прохождения

Глава 1. Рациональные дроби (20 часа)

Основное свойство дроби. Сокращение дробей.

Основное свойство дроби. Сокращение дробей.

Основное свойство дроби. Сокращение дробей.

Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями.

Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями.

Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями.

Контрольная работа № 1 по теме «Сложение и вычитание дробей»

Adblock
detector