Как провести из вершины треугольника высоту
Содержание
- Что такое высота треугольника?
- ВЫСОТА ТРЕУГОЛЬНИКА. СРЕДНИЙ УРОВЕНЬ
- В треугольнике проведено две высоты
- В треугольнике проведены три высоты.
- Угол между высотами.
- И ещё кое–что:
- ВЫСОТА ТРЕУГОЛЬНИКА. КОРОТКО О ГЛАВНОМ
- P.S. ПОСЛЕДНИЙ БЕСЦЕННЫЙ СОВЕТ 🙂
- Комментарии
- Определение
- Как найти высоту треугольника?
- Через теорему Пифагора
- Через площадь треугольника
- Через тригонометрическую функцию
- Что мы узнали?
Хочешь подготовиться к ОГЭ или ЕГЭ по математике на отлично?
Хочешь проверить свои силы и узнать результат насколько ты готов к ЕГЭ или ОГЭ?
Важное замечание!
Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Как это сделать в твоем браузере написано здесь: «Как почистить кэш браузера».
Что такое высота треугольника?
Высота – линия, проведённая из вершины треугольника перпендикулярно противоположной стороне. |
На этом рисунке – высота .
Но иногда высота ведёт себя, как непослушный ребенок – «выбегает» из треугольника. Это бывает в тупоугольном треугольнике.
И тогда получается так:
В общем, не нужно пугаться, если основание высоты оказалось не на стороне треугольника, а «за» треугольником, на продолжении стороны. Как же решать задачи, в которых участвует высота ? Нужно стремиться применить какие-нибудь знания о прямоугольном треугольнике – ведь где высота – там и прямой угол.
Вот есть, скажем, задача:
В треугольнике с тупым углом проведена высота . Найти , если , , .
![]() |
Смотри: из-за того, что угол – тупой, высота опустилась на продолжение стороны , а не на саму сторону. |
Теперь давай увидим во всём этом два прямоугольных треугольника.
Смотри их целых два:
Применяем теорему Пифагора к треугольнику :
А теперь теорема Пифагора для :
Теперь осталось только заметить, что .
А теперь давай зададимся вопросом: а сколько вообще высот у треугольника? Конечно, три! И вот, есть такое утверждение, доказывать которое мы здесь не будем, но знать его нужно, тем более, что запоминается оно просто:
В любом треугольнике все три высоты (или их продолжения) пересекаются в одной точке. |
Смотрим, как это бывает:
a) Сами высоты пересекаются:
b) Пересекаются продолжения:
Ну вот, про высоту и запоминать-то нужно всего ничего:
- Задача про высоту часто решается с помощью знаний о прямоугольном треугольнике.
- Три высоты (или три продолжения) пересекаются в одной точке.
(Но! Это НЕ центр НИКАКОЙ окружности )
ВЫСОТА ТРЕУГОЛЬНИКА. СРЕДНИЙ УРОВЕНЬ
Высота треугольника – линия, проведённая из вершины треугольника перпендикулярно противоположной стороне.
Обрати внимание, что, в отличие от биссектрисы и медианы, высота может находиться вне треугольника. Вот так, например:
Немного о терминологии:основанием высоты называют ту точку, в которой высота пересекает противоположную сторону (или её продолжение).
Задачи, связанные с высотой, часто решаются при помощи знаний о прямоугольном треугольнике. Но попадаются задачи и похитрее, при решении которых лучше обладать дополнительными знаниями заранее, а не выводить их «с нуля». Сейчас мы обсудим некоторые из них.
В треугольнике проведено две высоты
Первый «неожиданный факт»:
Почему бы это? Да очень просто! У них общий угол и оба – прямоугольные. Значит, подобны по двум углам.
Второй «неожиданный» факт:
![]() |
Здесь тоже подобие по двум углам: (как вертикальные) и по прямому углу. |
Третий, по–настоящему неожиданный факт:
Вот это уже интереснее, правда? Давай разбираться, почему так.
- Во-первых, конечно, у этих треугольников есть одинаковый (и даже общий) угол .
- А во–вторых …ты помнишь ещё первый "неожиданный" факт? Ну, что ? Вспоминаем и применяем!
Запишем отношения соответствующих сторон.
![]() |
Итак, .Следовательно, |
![]() |
Ух, да это же – отношение сторон для треугольников и ! |
В итоге мы получили, что у треугольников и
- Угол – общий;
- Отношение сторон, заключающих этот угол – одинаковы: .
Значит, мы получили, что:
Но самое интересное ещё впереди!
Каков же коэффициент подобия этих треугольников? То есть чему же равно это самое отношение ?
![]() |
Где наши знания о прямоугольном треугольнике? Что такое ? Катет, прилежащий к углу . А что такое ? Гипотенуза! |
Потрясающе, не правда ли?
Давай сформулируем ещё раз, чтобы лучше запомнить:
![]() |
Ну вот, две высоты в треугольнике рассмотрены. А теперь…
В треугольнике проведены три высоты.
Как и для медиан, и для биссектрис, для высот треугольника верно следующее утверждение:
В любом треугольнике три высоты или их продолжения пересекаются в одной точке. |
Доказывать это утверждение мы здесь, пожалуй, не будем.
Давай просто нарисуем, чтобы понять, как это бывает «высоты или их продолжения».
- Треугольник остроугольный – тогда пересекаются сами высоты
- Треугольник тупоугольный – тогда пересекаются продолжения высот
Что же полезного мы ещё не обсудили?
Угол между высотами.
Давай узнаем, вдруг угол между высотами можно как–то выразить через углы треугольника? Давай рассмотрим остроугольный треугольник.
![]() |
Итак, нам хотелось бы найти . Смотрим на . Замечаем, что наш – внешний угол в этом треугольнике. Значит, . |
Чему же равны и ?
![]() |
Смотри: из выходит, что . Конечно, таким же образом из получается, что . |
Но что же это такое? Ведь сумма угла углов треугольника — ! Значит, .
Итак, что получилось?
Угол между высотами в остроугольном треугольнике равен углу между сторонами, к которым эти высоты проведены. |
А как же дело обстоит в тупоугольном треугольнике? Давай смотреть…очень внимательно!
Представим, что у нас «главный» не , а .
![]() |
Тогда оказывается, что прямые , и – высоты в . Но уже остроугольный (так как все высоты оказались внутри), а про остроугольный треугольник мы уже всё знаем: . НО! |
Значит, для тупоугольного треугольника:
И ещё кое–что:
Вернёмся–ка к остроугольному треугольнику. Отметим на рисунке равные углы:
![]() |
Что видим теперь? Ещё подобные треугольники! |
Как от двух линий вообще могут получиться столько подобных треугольников?!
Но тем не менее…
Видишь, какое богатство? И всё это может быть использовано в задачах!
Ну вот, теперь ты узнал что-то новенькое про высоты треугольника. Теперь пробуй применять в задачах всё это – и соображение о том, что высота образует прямоугольный треугольник, и простые подобия прямоугольных треугольников, получающихся при пересечении двух высот, и подобие похитрее — которое с косинусом, и то, что угол между высотами равен углу между сторонами…
Главное, ты не старался просто запоминать все эти факты, а осознай, что их можно очень просто вывести. И тогда, если ты будешь точно знать, например? что две проведённые высоты приносят кучу бонусов в виде всяких подобий, то ты непременно и сам получишь все эти бонусы, а заодно – решение своей задачи!
ВЫСОТА ТРЕУГОЛЬНИКА. КОРОТКО О ГЛАВНОМ
Высота – линия, проведённая из вершины треугольника перпендикулярно противоположной стороне.
![]() |
Три высоты любого треугольника пересекаются в одной точке. |
Высоты треугольника обратно пропорциональны сторонам, на которые они опущены: .
Способы вычисления длины высоты, проведенной к стороне BC:
1) Через сторону и угол треугольника: .
2) Через все 3 стороны треугольника:
где — полупериметр треугольника: .
3) Через сторону и площадь треугольника: .
4) Через стороны треугольника и радиус описанной окружности:
,
где — радиус описанной окружности.
P.S. ПОСЛЕДНИЙ БЕСЦЕННЫЙ СОВЕТ 🙂
Ну вот, тема закончена. Если ты читаешь эти строки, значит ты очень крут.
Потому что только 5% людей способны освоить что-то самостоятельно. И если ты дочитал до конца, значит ты попал в эти 5%!
Теперь самое главное.
Ты разобрался с теорией по этой теме. И, повторюсь, это… это просто супер! Ты уже лучше, чем абсолютное большинство твоих сверстников.
Проблема в том, что этого может не хватить…
Для успешной сдачи ОГЭ или ЕГЭ, для перехода в 10-й класс или поступления в институт на бюджет и, САМОЕ ГЛАВНОЕ, для жизни.
Я не буду тебя ни в чем убеждать, просто скажу одну вещь…
Люди, получившие хорошее образование, зарабатывают намного больше, чем те, кто его не получил. Это статистика.
Но и это — не главное.
Главное то, что они БОЛЕЕ СЧАСТЛИВЫ (есть такие исследования). Возможно потому, что перед ними открывается гораздо больше возможностей и жизнь становится ярче? Не знаю.
Что нужно, чтобы быть наверняка лучше других на ЕГЭ и быть в конечном итоге… более счастливым?
НАБИТЬ РУКУ, РЕШАЯ ЗАДАЧИ ПО ЭТОЙ ТЕМЕ.
На экзамене у тебя не будут спрашивать теорию.
Тебе нужно будет решать задачи на время.
И, если ты не решал их (МНОГО!), ты обязательно где-нибудь глупо ошибешься или просто не успеешь.
Это как в спорте — нужно много раз повторить, чтобы выиграть наверняка.
Найди где хочешь сборник, обязательно с решениями, подробным разбором и решай, решай, решай!
Я рекомендую использовать для этих целей наш учебник "YouClever" (который ты сейчас читаешь, но без ограничений) и решебник и программу подготовки "100gia".
Условия их приобретения изложены здесь: кликните по этой ссылке, приобретите доступ к YouClever и 100gia и начните готовиться прямо сейчас!
И в заключение.
Если наши задачи тебе не нравятся, найди другие. Только не останавливайся на теории.
“Понял” и “Умею решать” — это совершенно разные навыки. Тебе нужны оба.
Найди задачи и решай!
Комментарии
Сидела и готовилась к зачёту по геометрии около двух часов, заходила на множество разных сайтов. И только на вашем сайте всё написано понятным языком, без заумных терминов. Спасибо!
Дарья, спасибо! Всей нашей команде очень приятно это слышать. Мы, консультанты, убеждали математиков использовать "человеческий" язык. И они справились очень хорошо. В результате получилось то, что всем нравится. Мы каждый день получаем благодарности. Еще раз спасибо и удачи на зачете!
Готовится с внуком к ОГЭ. Школу закончила 45 лет назад. Учили в то время просто отлично. Многое помню хорошо, но некоторые нюансы забылись. Ваш сайт очень помог. Все лаконично, по существу и без лишних заумных оборотов. Скачала ла себе на телефон. В свободное время просматриваю. С удовольствием решаю задачи. Спасибо Вам.
Олеся, спасибо за такой отзыв и удачи Вашему внуку на всех экзаменах. А сайт я лично попросил математиков написать "человеческим языком" ) Судя по отзывам, они справились.
А как бы еще доказать подобие треугольников HcHHa и АНС Можно без окружностей
Ольга, сейчас работы по написанию нового контента временно приостановлены. Ищем средства. Найдем — продолжим.
Определение
Одной из таких характеристик является высота треугольника. Высота – это перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к его противоположной стороне. Вершиной называют одну из трех точек, которые вместе с тремя сторонами составляют треугольник.
Определение высоты треугольника может звучать и так: высота – это перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону.
Это определение звучит сложнее, но оно точнее отражает ситуацию. Дело в том, что в тупоугольном треугольнике не получится провести высоту внутри треугольника. Как видно на рисунке 1, высота в этом случае получается внешней. Кроме того, не стандартной ситуацией является построение высоты в прямоугольном треугольнике. В этом случае, две из трех высот треугольника будут проходить через катеты, а третья от вершины к гипотенузе.
Рис. 1. Высота тупоугольного треугольника.
Как правило, высота треугольника имеет обозначение буквой h. Так же обозначается высота и в других фигурах.
Как найти высоту треугольника?
Существует три стандартных способа нахождения высоты треугольника:
Через теорему Пифагора
Этот способ применяется для равносторонних и равнобедренных треугольников. Разберем решение для равнобедренного треугольника, а потом скажем, почему это же решение справедливо для равностороннего.
Дано: равнобедренный треугольник АВС с основанием АС. АВ=5, АС=8. Найти высоту треугольника.
Рис. 2. Рисунок к задаче.
Для равнобедренного треугольника важно знать, какая именно сторона является основанием. Это определяет боковые стороны, которое должны быть равны, а так же высоту, на которую действую некоторые свойства.
Свойства высоты равнобедренного треугольника, проведенной к основания:
- Высота совпадает с медианной и биссектрисой
- Делит основание на две равные части.
Высоту обозначим, как ВD. DС найдем как половину от основания, так как высота точкой D делит основание пополам. DС=4
Высота это перпендикуляр, значит ВDС – прямоугольный треугольник, а высота ВН является катетом этого треугольника.
Найдем высоту по теореме Пифагора: $$ВD=sqrt=sqrt<25-16>=3$$
Любой равносторонний треугольник является равнобедренным, только основание у него равно боковым сторонам. То есть, можно использовать тот же порядок действий.
Через площадь треугольника
Этим способом можно пользоваться для любого треугольника. Чтобы им воспользоваться, нужно знать значение площади треугольника и стороны, к которой проведена высота.
Высоты в треугольнике не равны, поэтому для соответствующей стороны получится вычислить соответствующую высоту.
Формула площади треугольника: $$S=<1over2>*bh$$, где b – это сторона треугольника ,а h – высота, проведенная к этой стороне. Выразим из формулы высоту:
Если площадь равна 15, сторона 5, то высота $$h=2*<15over5>=6$$
Через тригонометрическую функцию
Третий способ подойдет, если известна сторона и угол при основании. Для этого придется воспользоваться тригонометрической функцией.
Рис. 3. Рисунок к задаче.
Угол ВСН=300 , а сторона BC=8. У нас все тот же прямоугольный треугольник BCH. Воспользуемся синусом. Синус это отношение противолежащего катета к гипотенузе, значит: BH/BC=cos BCH.
Угол известен, как и сторона. Выразим высоту треугольника:
Значение косинуса в общем случае берется из таблиц Брадиса, но значения тригонометрических функций для 30,45 и 60 градусов – табличные числа.
Что мы узнали?
Мы узнали, что такое высота треугольника, какие бывают высоты и как они обозначаются. Разобрались в типовых задачах и записали три формулы для высоты треугольника.
Рассмотрим, как построить высоту треугольника с помощью чертежного угольника.
Чтобы построить высоту остроугольного треугольника, надо приложить угольник так, чтобы одна сторона прямого угла проходила через вершину треугольника, а вторая — через противоположную этой вершине сторону.
AK — высота треугольника ABC, проведённая из вершины A к противолежащей стороне BC.
BF⊥AC.
BF — высота треугольника ABC, опущенная из вершины B на сторону AC.
CH — высота треугольника ABC, проведённая из вершины C к стороне AB.
Все высоты треугольника пересекаются в одной точке.
В остроугольном треугольнике точка пересечения высот лежит внутри треугольника.
Если требуется построить все высоты треугольника, достаточно построить две, а третью провести из вершины треугольника через точку пересечения двух высот.
В прямоугольном треугольнике две стороны (катеты) являются также его высотами. Остаётся построить третью высоту.
Угольник прикладываем прямым углом так, чтобы одна сторона проходила через гипотенузу, а другая — через прямой угол.
CD — высота прямоугольного треугольника ABC, проведённая из вершины прямого угла C к гипотенузе AB.
Точка пересечения высот прямоугольного треугольника — вершина прямого угла.
Высоты AC, BC и CD прямоугольного треугольника ABC пересекаются в точке C, ∠C=90°.
В тупоугольном треугольнике проще всего построить высоту, выходящую из вершины тупого угла.
Прикладываем угольник прямым углом так, чтобы одна его сторона проходила через наибольшую сторону треугольника, а другая — через тупой угол.
AP — высота тупоугольного треугольника ABC, проведённая из вершины тупого угла A к стороне BC.
Только высота, проведённая из вершины тупого угла, лежит внутри треугольника. Две другие высоты находятся вне него.
Высоты тупоугольного треугольника, выходящие из вершин острых углов, проведены не к противолежащим сторонам, а к прямым, содержащим эти стороны.
Чтобы построить высоту, продлеваем противолежащую сторону и прикладываем угольник прямым углом таким образом, чтобы одна сторона угольника проходила через построенную прямую, а другая — через вершину острого угла.
BM — высота тупоугольного треугольника ABC, проведённая из вершины острого угла B к прямой, содержащей противолежащую сторону AC.
CN⊥AB,
CN — высота тупоугольного треугольника ABC, проведённая из вершины острого угла С к прямой, содержащей противолежащую сторону AB.
Точка пересечения высот тупоугольного треугольника лежит вне него, за тупым углом, напротив наибольшей стороны.
Чтобы построить точку пересечения высот треугольника ABC, продлим прямые BM, CN и AP до пересечения.
Мы рассмотрели, как строить высоты треугольника с помощью угольника.
Построение высот с помощью циркуля и линейки будем рассматривать в теме «Задачи на построение».