Как правильно чертить параболу

Прежде чем перейти к разбору квадратичной функции рекомендуем вспомнить, что называют функцией в математике.

Если вы прочно закрепите общие знания о функции (способы задания, понятие графика) дальнейшее изучение других видов функций будет даваться значительно легче.

Что называют квадратичной функцией

Квадратичная функция — это функция вида

Другими словами можно сказать, что если в функции старшая (то есть самая большая) степень, в которой стоит « x » — это « 2 », то перед нами квадратичная функция.

Рассмотрим примеры квадратичных функций и определим, чему в них равны коэффициенты « a », « b » и « с ».

Как построить график квадратичной функции

График квадратичной функции называют параболой.

Парабола выглядит следующим образом.

Также парабола может быть перевернутой.

Существует четкий алгоритм действий при построении графика квадратичной функции. Рекомендуем при построении параболы всегда следовать этому порядку действий, тогда вы сможете избежать ошибок при построении.

Чтобы было проще понять этот алгоритм, сразу разберем его на примере.

Построим график квадратичной функции « y = x 2 −7x + 10 ».

Направление ветвей параболы

Если « a > 0 », то ветви направлены вверх.

Если « a », то ветви направлены вниз.

В нашей функции « a = 1 », это означает, что ветви параболы направлены вверх.

Координаты вершины параболы

Чтобы найти « x » (координата вершины по оси « Ox ») нужно использовать формулу:

x =

Найдем « x » для нашей функции « y = x 2 −7x + 10 ».

x =

=

= 3,5

Теперь нам нужно найти « y » (координату вершины по оси « Oy »). Для этого нужно подставить найденное значение « x » в исходную функцию. Вспомнить, как найти значение функции можно в уроке «Как решать задачи на функцию» в подразделе «Как получить значение функции».

Выпишем полученные координаты вершины параболы.

(·) A (3,5; −2,25) — вершина параболы.

Отметим вершину параболы на системе координат. Проведем через отмеченную точку ось симметрии, так как парабола — это симметричный график относительно оси « Oy ».

Для начала давайте разберемся, что называют нулями функции.

Нули функции — это точки пересечения графика функции с осью « Ox » (осью абсцисс).

Наглядно нули функции на графике выглядят так:

Свое название нули функции получили из-за того, что у этих точек координата по оси « Oy » равна нулю.

Теперь давайте разберемся, как до построения графика функции рассчитать координаты точек нулей функции.

Чтобы найти координаты точек нулей функции, нужно в исходную функцию подставить вместо « y = 0 ».

Подставим в заданную функцию « y = x 2 −7x + 10 » вместо « y = 0 » и решим полученное квадратное уравнение относительно « x » .

0 = x 2 −7x + 10
x 2 −7x + 10 = 0
x_1;2 =

x_1;2 =

x_1;2 =

Мы получили два корня в уравнении, значит, у нас две точки пересечения с осью « Ox ». Назовем эти точки и выпишем их координаты.

Отметим полученные точки («нули функции») на системе координат.

Возьмем четыре произвольные числовые значения для « x ». Целесообразно брать целые числовые значения на оси « Ox », которые наиболее близки к оси симметрии. Числа запишем в таблицу в порядке возрастания.

Для каждого выбранного значения « x » рассчитаем « y ».

• y(1) = 1 2 − 7 · 1 + 10 = 1 − 7 + 10 = 4
• y(3) = 3 2 − 7 · 3 + 10 = 9 − 21 + 10 = −2
• y(4) = 4 2 − 7 · 4 + 10 = 16 − 28 + 10 = −2
• y(6) = 6 2 − 7 · 6 + 10 = 36 − 42 + 10 = 4

Запишем полученные результаты в таблицу.

Отметим полученные точки графика на системе координат (зеленые точки).

Теперь мы готовы построить график. На забудьте после построения подписать график функции.

Краткий пример построения параболы

Рассмотрим другой пример построения графика квадратичной функции. Только теперь запишем алгоритм построения коротко без подробностей.

Пусть требуется построить график функции « y = −3x 2 − 6x − 4 ».

Направление ветвей параболы « a = −3 » — ветви параболы направлены вниз.

Координаты вершины параболы

x =

x =

=

= −1

y(−1) = (−3) · (−1) 2 − 6 · (−1) − 4 = −3 · 1 + 6 − 4 = −1

(·) A (−1; −1) — вершина параболы.

Точки пересечения с осью « Ox » ( y = 0 ).

−3x 2 − 6x − 4 = 0 |·(−1)

x_1;2 =

x_1;2 =

x_1;2 =

Ответ: нет действительных корней.

Так как корней нет, значит, график функции не пересекает ось « Ox ».

Вспомогательные точки для: « x = −3 »; « x = −2 »; « x = 0 »; « x = 1 ». Подставим в исходную функцию « y = −3x 2 − 6x − 4 ».

• y(−3) = −3 · (−3) 2 − 6 · (−3) − 4 = −3 · 9 + 18 − 4 = −27 + 14 = −13
• y(−2) = −3 · (−2) 2 − 6 · (−2) − 4 = −3 · 4 + 12 − 4 = −12 + 12 − 4 = −4
• y(0) = −3 · 0 2 − 6 · 0 − 4 = −4
• y(1) = −3 · 1 2 − 6 · 1 − 4 = −3 −6 − 4 = −13

Отметим вспомогательные точки. Отмечаем на системе координат только те точки, которые не выходят за масштаб нашей системы координат, то есть точки « (−2; −4) » и « (0; −4) ». Построим и подпишем график функции.

Урок: как построить параболу или квадратичную функцию?

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Парабола — это график функции описанный формулой ax 2 +bx+c=0.
Чтобы построить параболу нужно следовать простому алгоритму действий:

1 ) Формула параболы y=ax 2 +bx+c,
если а>0 то ветви параболы направленны вверх,
а 2 +bx+c=0;

a) Полное квадратное уравнение имеет вид ax 2 +bx+c=0 и решается по дискриминанту;
b) Неполное квадратное уравнение вида ax 2 +bx=0. Чтобы его решить нужно вынести х за скобки, потом каждый множитель приравнять к 0:
ax 2 +bx=0,
х(ax+b)=0,
х=0 и ax+b=0;
c)Неполное квадратное уравнение вида ax 2 +c=0. Чтобы его решить нужно неизвестные перенести в одну сторону, а известные в другую. x =±√(c/a);

4) Найти несколько дополнительных точек для построения функции.

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

И так теперь на примере разберем все по действиям:
Пример №1:
y=x 2 +4x+3
c=3 значит парабола пересекает OY в точке х=0 у=3. Ветви параболы смотрят вверх так как а=1 1>0.
a=1 b=4 c=3 x=(-b)/2a=(-4)/(2*1)=-2 y= (-2) 2 +4*(-2)+3=4-8+3=-1 вершина находится в точке (-2;-1)
Найдем корни уравнения x 2 +4x+3=0
По дискриминанту находим корни
a=1 b=4 c=3
D=b 2 -4ac=16-12=4
x=(-b±√(D))/2a
x₁=(-4+2)/2=-1
x₂=(-4-2)/2=-3

Возьмем несколько произвольных точек, которые находятся рядом с вершиной х=-2

х -4 -3 -1 0
у 3 0 0 3

Подставляем вместо х в уравнение y=x 2 +4x+3 значения
y=(-4) 2 +4*(-4)+3=16-16+3=3
y=(-3) 2 +4*(-3)+3=9-12+3=0
y=(-1) 2 +4*(-1)+3=1-4+3=0
y=(0) 2 +4*(0)+3=0-0+3=3
Видно по значениям функции,что парабола симметрична относительно прямой х=-2

Пример №2:
y=-x 2 +4x
c=0 значит парабола пересекает OY в точке х=0 у=0. Ветви параболы смотрят вниз так как а=-1 -1 2 +4*2=-4+8=4 вершина находится в точке (2;4)
Найдем корни уравнения -x 2 +4x=0
Неполное квадратное уравнение вида ax 2 +bx=0. Чтобы его решить нужно вынести х за скобки, потом каждый множитель приравнять к 0.
х(-x+4)=0, х=0 и x=4.

Возьмем несколько произвольных точек, которые находятся рядом с вершиной х=2
х 0 1 3 4
у 0 3 3 0
Подставляем вместо х в уравнение y=-x 2 +4x значения
y=0 2 +4*0=0
y=-(1) 2 +4*1=-1+4=3
y=-(3) 2 +4*3=-9+13=3
y=-(4) 2 +4*4=-16+16=0
Видно по значениям функции,что парабола симметрична относительно прямой х=2

Пример №3
y=x 2 -4
c=4 значит парабола пересекает OY в точке х=0 у=4. Ветви параболы смотрят вверх так как а=1 1>0.
a=1 b=0 c=-4 x=(-b)/2a=0/(2*(1))=0 y=(0) 2 -4=-4 вершина находится в точке (0;-4)
Найдем корни уравнения x 2 -4=0
Неполное квадратное уравнение вида ax 2 +c=0. Чтобы его решить нужно неизвестные перенести в одну сторону, а известные в другую. x =±√(c/a)
x 2 =4
x₁=2
x₂=-2

Возьмем несколько произвольных точек, которые находятся рядом с вершиной х=0
х -2 -1 1 2
у 0 -3 -3 0
Подставляем вместо х в уравнение y= x 2 -4 значения
y=(-2) 2 -4=4-4=0
y=(-1) 2 -4=1-4=-3
y=1 2 -4=1-4=-3
y=2 2 -4=4-4=0
Видно по значениям функции,что парабола симметрична относительно прямой х=0

Подписывайтесь на канал на YOUTUBE, чтобы быть в курсе всех новинок и готовится с нами к экзаменам.

Что такое парабола знают, пожалуй, все. А вот как ее правильно, грамотно использовать при решении различных практических задач, разберемся ниже.

Сначала обозначим основные понятия, которые дает этому термину алгебра и геометрия. Рассмотрим все возможные виды этого графика.

Узнаем все основные характеристики этой функции. Поймем основы построения кривой (геометрия). Научимся находить вершину, другие основные величины графика данного типа.

Узнаем: как правильно строится искомая кривая по уравнению, на что надо обратить внимание. Посмотрим основное практическое применение этой уникальной величины в жизни человека.

Что такое парабола и как она выглядит

Алгебра: под этим термином понимается график квадратичной функции.

Геометрия: это кривая второго порядка, имеющая ряд определенных особенностей:

1. Любая прямая пересекает на плоскости искомую линию в 2-х точках – так называемые, «нули» (кроме основного экстремума графика).
2. Множество точек плоскости ХОY (М), расстояние FM которых до F = расстоянию MN до прямой Где F – фокус, AN – директриса. Эти понятия рассмотрим ниже.

Каноническое уравнение параболы

На рисунке изображена прямоугольная система координат (XOY), экстремум, направление ветвей чертежа функции вдоль оси абсцисс.

Каноническое уравнение имеет вид:

где коэффициент p – фокальный параметр параболы (AF).

В алгебре оно запишется иначе:

y = a x 2 + b x + c (узнаваемый шаблон: y = x 2 ).

Свойства и график квадратичной функции

Функция обладает осью симметрии и центром (экстремум). Область определения – все значения оси абсцисс.

Область значений функции – (-∞, М) или (М, +∞) зависит от направления ветвей кривой. Параметр М тут означает величину функции в вершине линии.

Как определить, куда направлены ветви параболы

Чтобы найти направление кривой такого типа из выражения, нужно определить знак перед первым параметром алгебраического выражения. Если а ˃ 0, то они направлены вверх. Если наоборот – вниз.

Как найти вершину параболы по формуле

Нахождение экстремума является основным этапом при решении множества практических задач. Конечно, можно открыть специальные онлайн калькуляторы, но лучше это уметь делать самому.

Как же ее определить? Есть специальная формула. Когда b не равно 0, надо искать координаты этой точки.

Формулы нахождения вершины:

Пример.

Имеется функция у = 4 * x 2 + 16 * x – 25. Найдём вершины этой функции.

Для такой линии:

• х = -16 / (2 * 4) = -2;
• y = 4 * 4 — 16 * 2 — 25 = 16 — 32 — 25 = -41.

Получаем координаты вершины (-2, -41).

Смещение параболы

Классический случай, когда в квадратичной функции y = a x 2 + b x + c, второй и третий параметры равны 0, а = 1 – вершина находится в точке (0; 0).

Движение по осям абсцисс или ординат обусловлено изменением параметров b и c соответственно. Сдвиг линии на плоскости будет осуществляться ровно на то количество единиц, чему равно значение параметра.

Пример.

Имеем: b = 2, c = 3.

Это означает, что классический вид кривой сдвинется на 2 единичных отрезка по оси абсцисс и на 3 — по оси ординат.

Как строить параболу по квадратному уравнению

Школьникам важно усвоить, как правильно начертить параболу по заданным параметрам.

Анализируя выражения и уравнения, можно увидеть следующее:

1. Точка пересечения искомой линии с вектором ординат будет иметь значение, равное величине с.
2. Все точки графика (по оси абсцисс) будут симметричны относительно основного экстремума функции.

Кроме того, места пересечения с ОХ можно найти, зная дискриминант (D) такой функции:

D = (b 2 — 4 * a * c).

Для этого нужно приравнять выражение к нулю.

Наличие корней параболы зависит от результата:

• D ˃ 0, то х_{1, 2} = (-b ± D 0,5 ) / (2 * a);
• D = 0, то х_{1, 2} = -b / (2 * a);
• D ˂ 0, то нет точек пересечения с вектором ОХ.

Получаем алгоритм построения параболы:

• определить направление ветвей;
• найти координаты вершины;
• найти пересечение с осью ординат;
• найти пересечение с осью абсцисс.

Пример 1.

Дана функция у = х 2 — 5 * х + 4. Необходимо построить параболу. Действуем по алгоритму:

1. а = 1, следовательно, ветви направлены вверх;
2. координаты экстремума: х = — (-5) / 2 = 5/2; y = (5/2) 2 — 5 * (5/2) + 4 = -15/4;
3. с осью ординат пересекается в значении у = 4;
4. найдем дискриминант: D = 25 — 16 = 9;
5. ищем корни:

• Х₁ = (5 + 3) / 2 = 4; (4, 0);
• Х₂ = (5 — 3) / 2 = 1; (1, 0).

По полученным точкам можно построить параболу.

Пример 2.

Для функции у = 3 * х 2 — 2 * х — 1 нужно построить параболу. Действуем по приведенному алгоритму:

1. а = 3, следовательно, ветви направлены вверх;
2. координаты экстремума: х = — (-2) / 2 * 3 = 1/3; y = 3 * (1/3) 2 — 2 * (1/3) — 1 = -4/3;
3. с осью у будет пересекаться в значении у = -1;
4. найдем дискриминант: D = 4 + 12 = 16. Значит корни:

• Х₁ = (2 + 4) / 6 = 1; (1;0);
• Х₂ = (2 — 4) / 6 = -1/3; (-1/3; 0).

По полученным точкам можно построить параболу.

Директриса, эксцентриситет, фокус параболы

Исходя из канонического уравнения, фокус F имеет координаты (p/2, 0).

Прямая АВ – директриса (своего рода хорда параболы определенной длины). Ее уравнение: х = -р/2.

Эксцентриситет (константа) = 1.

Заключение

Мы рассмотрели тему, которую изучают школьники в средней школе. Теперь вы знаете, глядя на квадратичную функцию параболы, как найти её вершину, в какую сторону будут направлены ветви, есть ли смещение по осям, и, имея алгоритм построения, сможете начертить её график.