Как построить график зависимости перемещения от времени

Графиком скорости равноускоренного движения явля­ется прямая линия (рис. 15), так как проекция уравнения (8) на ось, параллельную направлению движения, есть уравнение прямой

Ускорение тела, совершающего равнопеременное движение, есть величина

Графиком ускорения служит прямая, параллельная оси времени расположенная в области положительных значений функции (если движение равноускоренное а>0) или в области отрицательных значений (если движение равнозамедленное a 2 +bx+c. Буквой у обозначена зависимая переменная величина (или функция), а буквой x – независимая переменная величина (аргумент). Графиком такого вида функции является парабола. Значит, и графиком координаты тела, движущегося по закону (11), т.е. равноускоренно является парабола.

На рис. 16 парабола имеет вершину в точке (0;0). Начальная координата x_o=0, скорость и ускорение тела имеют положительные значения. Это означает:

1) движение совершается вдоль направления оси координат выбранной системы отсчета;

2) скорость и ускорение сонаправлены;

3) скорость по модулю возрастает или тело ускоряется.

Мы знаем, что скорость и ускорение – векторы, и могут иметь отрицательные значения, тогда парабола может быть направлена «ветвями вниз». Поэтому вид графика x(t) и s(t) может иметь множество вариантов, но это всегда «кусок» параболы.

При начальной координате х=0, уравнения координаты и перемещения совпадают, поэтому будут одинаковыми и графики x(t) и s(t).

3. Если исключить из формулы (9) время, то получим

(12)

Наконец, если подставить в определение средней ско­рости (4) выражение для перемещения (9), то после преобразования получим

4. Если начальная скорость равна нулю, то формулы упрощаются: выпадают слагаемые, содержащие v (см. сводную таблицу).

Задача 1. Начальная скорость тела равна нулю, ускорение а = 20 м/с 2 . Постройте графики зависимости a(t), v(t), s(t) за 4 с. (О т в е т: см. рис. 16).

К каждой задаче (кроме первой) перед тем, как начать ее решать, рекомендуем начертить от руки график v(t) и проставить на осях графика те числа, что даны в условии. На первых порах при решении задач держите перед собой сводную таблицу формул (§ 10).

Автомашина, двигаясь равноускоренно, за 5 секунд увеличила свою скорость с 20 м/с до 30 м/с. С каким ускорением двигалась машина и какой путь прошла она за это время? (О т в е т: 2 м/с 2 , 125 м).

Тело начало двигаться из состояния покоя равноус­коренно и за первую секунду прошло путь 10 м. Найдите ускорение тела и путь, пройденный им за первые 3 секунды движения. (О т в е т: 20 м/с 2 , 90 м).

Тело начало двигаться из состояния покоя равноус­коренно и за первую секунду прошло путь 10 м. Какова была мгновенная скорость тела в конце первой секунды? (О т в е т: 20 м/с).

Тело начало двигаться из состояния покоя и первые 4 секунды двигалось с постоянным ускорением 2 м/с 2 , после чего стало двигаться равномерно. Какой путь прошло тело за первые 10 секунд движения? Какова была его средняя скорость за эти 10 секунд? (Ответ: 64 м; 6,4 м/с).

Первые 4 секунды тело двигалось с постоянной ско­ростью 20 м/с, после чего стало двигаться с ускорением 5 м/с 2 . Какова будет скорость тела через 10 секунд после начального момента и какой путь оно пройдет за это вре­мя? (О т в е т: 290 м).

Машина, двигаясь рав­ноускоренно, увеличила свою скорость с 10 м/с до 20 м/с, пройдя при этом путь 100 м. Каково ее ускорение? (Ответ: 1,5 м/с 2 ).

Машина, имевшая скорость 30 м/с, начала тормозить и остановилась через 3 секунды. Каково было ее ускорение и какой путь прошла она при торможении? (Ответ: -10 м/с 2 ; 45 м).

Машина, двигавшаяся со скоростью 20 м/с, прошла при торможении до полной остановки путь 15 м. Ка­ково было ускорение машины при торможении? (Ответ: -13,3 м/с 2 ).

Тело, двигаясь равноускоренно из состояния покоя, прошло за первые 2 секунды путь 10 м. Какой путь прошло оно за следующие 2 секунды?

10. Тело начало двигаться из состояния покоя с посто­янным ускорением

10 м/с 2 . Какой путь пройдет это тело за третью секунду своего движения?

(О т в е т : 25 м).

11. Тело начало двигаться из состояния покоя равно­ускоренно и за четвертую секунду своего движения про­шло путь 35 м. С каким ускорением двигалось тело? (Ответ: 10 м/с 2 ).

12.Два тела начали одновременно двигаться из состоя­ния покоя в одном направлении из одной точки. Пер­вое тело двигалось с постоянным ускорением 5 м/с 2 , а второе — с постоянным ускорением 3 м/с 2 . Через какое время расстояние между телами станет равным 25 м? (О т в е т: 5 с).

13. График скорости тела в зависимости от времени имеет форму равнобедренной трапеции. Покажите, как вы­глядит график ускорения и график пути в зависимости от времени. (Ответ: см. рис. 17).

4.4. Закон путей или перемещение тела, движущегося прямолинейно равноускоренно без начальной скорости.

Рассмотрим движение тело при следующих условиях х_о=0, v_o=0, a>0, .

При равнопеременном прямолинейном движении без начальной скорости пути, проходимые телом за последовательные равные промежутки времени, относятся как ряд нечетных чисел.

(13)

Поясним на примере:

Пусть тело из состояния покоя начинает двигаться равноускоренно

Эту закономерность можно продолжить. Называют ее законом путей.

Проиллюстрируем эту закономерность графически.

За промежуток вре­мени ∆t тело прошло путь l = l_o. За последующий промежуток времени ∆t тело, как видно из рисунка, пройдет путь, равный

За промежуток времени

тело пройдет путь

За промежуток времени тело пройдет путь……….. и т. д.

ЗАДАЧА 1. Исходя из полученных ВЫШЕ результатов, постройте график пути от времени для равнопеременного прямолинейного движения без на­чальной скорости.

ЗАДАЧА 2. Из состояния покоя тело начинает двигаться равномерно и прямолинейно. За четвертую секун­ду своего движения оно проходит путь, равный 21 см. Какой путь прошло тело за вторую секунду?

Одним из возможных решений дан­ной задачи является следующее. Так как пути, проходимые телом за последовательные равные проме­жутки времени, относятся как 1 : 3 : 5 : 7 : . , то

Ответ. Тело за вторую секунду проходит путь, равный см.

Если траектория движения точки известна, то зависимость пути , пройденного точкой, от истекшего промежутка времени дает полное описание этого движения. Мы видели, что для равномерного движения такую зависимость можно дать в виде формулы (9.2). Связь между и для отдельных моментов времени можно задавать также в виде таблицы, содержащей соответственные значения промежутка времени и пройденного пути. Пусть нам дано, что скорость некоторого равномерного движения равна 2 м/с. Формула (9.2) имеет в этом случае вид . Составим таблицу пути и времени такого движения:

Зависимость одной величины от другой часто бывает удобно изображать не формулами или таблицами, а графиками, которые более наглядно показывают картину изменения переменных величин и могут облегчать расчеты. Построим график зависимости пройденного пути от времени для рассматриваемого движения. Для этого возьмем две взаимно перпендикулярные прямые — оси координат; одну из них (ось абсцисс) назовем осью времени, а другую (ось ординат) — осью пути. Выберем масштабы для изображения промежутков времени и пути и примем точку пересечения осей за начальный момент и за начальную точку на траектории. Нанесем на осях значения времени и пройденного пути для рассматриваемого движения (рис. 18). Для «привязки» значений пройденного пути к моментам времени проведем из соответственных точек на осях (например, точек 3 с и 6 м) перпендикуляры к осям. Точка пересечения перпендикуляров соответствует одновременно обеим величинам: пути и моменту , — этим способом и достигается «привязка». Такое же построение можно выполнить и для любых других моментов времени и соответственных путей, получая для каждой такой пары значений время — путь одну точку на графике. На рис. 18 выполнено такое построение, заменяющее обе строки таблицы одним рядом точек. Если бы такое построение было выполнено для всех моментов времени, то вместо отдельных точек получилась бы сплошная линия (также показанная на рисунке). Эта линия и называется графиком зависимости пути от времени или, короче, графиком пути.

Рис. 18. График пути равномерного движения со скоростью 2 м/с

Рис. 19. К упражнению 12.1

В нашем случае график пути оказался прямой линией. Можно показать, что график пути равномерного движения всегда есть прямая линия; и обратно: если график зависимости пути от времени есть прямая линия, то движение равномерно.

Повторяя построение для другой скорости движения, найдем, что точки графика для большей скорости лежат выше, чем соответственные точки графика для меньшей скорости (рис. 20). Таким образом, чем больше скорость равномерного движения, тем круче прямолинейный график пути, т. е. тем больший угол он составляет с осью времени.

Рис. 20. Графики пути равномерных движений со скоростями 2 и 3 м/с

Рис. 21. График того же движения, что на рис. 18, вычерченный в другом масштабе

Наклон графика зависит, конечно, не только от числового значения скорости, но и от выбора масштабов времени и длины. Например, график, изображенный на рис. 21, дает зависимость пути от времени для того же движения, что и график рис. 18, хотя и имеет другой наклон. Отсюда ясно, что сравнивать движения по наклону графиков можно только в том случае, если они вычерчены в одном и том же масштабе.

С помощью графиков пути можно легко решать разные задачи о движении. Для примера на рис. 18 штриховыми линиями показаны построения, необходимые для того, чтобы решить следующие задачи для данного движения: а) найти путь, пройденный за время 3,5 с; б) найти время, за которое пройден путь 9 м. На рисунке графическим путем (штриховые линии) найдены ответы: а) 7 м; б) 4,5 с.

На графиках, описывающих равномерное прямолинейное движение, можно откладывать по оси ординат вместо пути координату движущейся точки. Такое описание открывает большие возможности. В частности, оно позволяет различать направление движения по отношению к оси . Кроме того, приняв начало отсчета времени за нуль, можно показать движение точки в более ранние моменты времени, которые следует считать отрицательными.

Рис. 22. Графики движений с одной и той же скоростью, но при различных начальных положениях движущейся точки

Рис. 23. Графики нескольких движений с отрицательными скоростями

Например, на рис. 22 прямая I есть график движения, происходящего с положительной скоростью 4 м/с (т. е. в направлении оси ), причем в начальный момент движущаяся точка находилась в точке с координатой м. Для сравнения на том же рисунке дан график движения, которое происходит с той же скоростью, но при котором в начальный момент движущаяся точка находится в точке с координатой (прямая II). Прямая. III соответствует случаю, когда в момент движущаяся точка находилась в точке с координатой м. Наконец, прямая IV описывает движение в случае, когда движущаяся точка имела координату в момент с.

Мы видим, что наклоны всех четырех графиков одинаковы: наклон зависит только от скорости движущейся точки, а не от ее начального положения. При изменении начального положения весь график просто переносится параллельно самому себе вдоль оси вверх или вниз на соответственное расстояние.

Графики движений, происходящих с отрицательными скоростями (т. е. в направлении, противоположном направлению оси ), показаны на рис. 23. Они представляют собой прямые, наклоненные вниз. Для таких движений координата точки с течением времени уменьшается.

12.3. График пути для точки, движущейся со скоростью , отсекает на оси ординат отрезок . Как зависит от времени расстояние от начальной точки? Напишите формулу этой зависимости.

12.4. Точка, движущаяся со скоростью , в момент находится на расстоянии от начальной. Как зависит от времени расстояние ?

12.5. Точка, двигаясь равномерно вдоль оси , имела координаты м и м в моменты времени с и с соответственно. Найдите графически, в какой момент точка проходила через начало координат и какова была координата в начальный момент. Найдите проекцию скорости на ось .

12.6. Найдите при помощи графика пути, когда и на каком расстоянии от точки А автомашину, вышедшую из точки А, догонит вторая автомашина, вышедшая из той же точки через 20 мин после первой, если первая машина движется со скоростью 40 км/ч, а вторая — со скоростью 60 км/ч.

12.7. Найдите при помощи графика пути, где и когда встретятся автомашины, вышедшие одновременно навстречу друг другу со скоростями 40 и 60 км/ч из пунктов А и В, лежащих на расстоянии 100 км друг от друга.

Графики пути можно строить и для случаев, в которых тело движется равномерно в течение определенного промежутка времени, затем движется равномерно, но с другой скоростью в течение другого промежутка времени, затем снова меняет скорость и т. д. Например, на рис. 26 показан график движения, в котором тело двигалось в течение первого часа со скоростью 20 км/ч, в течение второго часа — со скоростью 40 км/ч и в течение третьего часа — со скоростью 15 км/ч.

12.8. Постройте график пути для движения, в котором за последовательные часовые промежутки тело имело скорости 10, -5, 0, 2, -7 км/ч. Чему равно суммарное перемещение тела?

Построение графика зависимости S(t) для равномерного движения, расчёт скорости тела по графику.

Просмотр содержимого документа
«График зависимости перемещения от времени»

График зависимости перемещения от времени