Как построить график логарифма

Раздел логарифмов занимает огромное значение в школьном курсе «Математического анализа». Задания для логарифмических функций построены на иных принципах, нежели задачи для неравенств и уравнений. Знание определений и основных свойств понятий логарифм и логарифмическая функция, обеспечат успешное решение типовых задач ЕГЭ.

Определение понятия логарифм

Прежде чем приступить к объяснению, что представляет собой логарифмическая функция, стоит обратиться к определению логарифма.

Разберем конкретный пример: а log _a x = x, где a › 0, a ≠ 1.

Основные свойства логарифмов можно перечислить несколькими пунктами:

1. Если a › 1, то для x › 1 log_ax › 0 и для 0 ‹ x ‹ 1 log_ax ‹ 0.
2. Если 0 ‹ а ‹ 1, то для x › 1 log_ax ‹ 0 и для 0 ‹ x ‹ 1 log_ax › 0
3. Если а › 0 и а ≠ 1, то log_a1 = 0
4. Если а › 0 и а ≠ 1, то log_aa = 1
5. Если x₁ = x₂, то log_ax₁=log_ax₂, где а › 0 и а ≠1
6. Логарифм произведения равен сумме логарифмов.
7. Логарифм частного равен разности логарифмов делимого и делителя.
8. Логарифм степени равен логарифму основания, умноженному на показатель степени.
9. Основание логарифма можно поменять по формуле:
10. Если возвести основание и аргумент логарифма в одну и ту же степень, то его значение не измениться.

Логарифмирование

Логарифмированием называют математическую операцию, которая позволяет с помощью свойств понятия найти логарифм числа или выражения.

Функция логарифма и ее свойства

Логарифмическая функция имеет вид

Сразу отметим, что график функции может быть возрастающим при a › 1 и убывающим при 0 ‹ a ‹ 1. В зависимости от этого кривая функции будет иметь тот или иной вид.

Приведем свойства и способ построения графиков логарифмов:

• область определения f(x) – множество всех положительных чисел, т.е. x может принимать любое значение из интервала (0; + ∞);
• ОДЗ функции – множество всех действительных чисел, т.е. y может быть равен любому числу из промежутка ( — ∞; +∞);
• если основание логарифма а › 1, то f(x) возрастает на всей области определения;
• если основание логарифма 0 ‹ a ‹ 1, то F – убывающая;
• логарифмическая функция не является ни четной, ни нечетной;
• кривая графика всегда проходит через точку с координатами (1;0).

Построить обе разновидности графиков очень просто, рассмотрим процесс на примере

Для начала необходимо вспомнить свойства простого логарифма и ее функции. С их помощью нужно построить таблицу для конкретных значений x и y. Затем на координатной оси следует отметить полученные точки и соединить их плавной линией. Эта кривая и будет являться требуемым графиком.

Логарифмическая функция является обратной для показательной функции, заданной формулой y= а x . Чтобы убедиться в этом, достаточно нарисовать обе кривые на одной координатной оси.

Очевидно, что обе линии являются зеркальным отражением друг друга. Построив прямую y = x, можно увидеть ось симметрии.

Для того, чтобы быстро найти ответ задачи нужно рассчитать значения точек для y = log_2⁡x, а затем просто перенести начала точки координат на три деления вниз по оси OY и на 2 деления влево по оси OX.

В качестве доказательства построим расчетную таблицу для точек графика y = log₂⁡(x+2)-3 и сравним полученные значения с рисунком.

Как видно, координаты из таблицы и точек на графике совпадают, следовательно, перенос по осям был осуществлен правильно.

Примеры решения типовых задач ЕГЭ

Большую часть тестовых задач можно разделить на две части: поиск области определения, указания вида функции по рисунку графика, определение является ли функция возрастающей/убывающей.

Для быстрого ответа на задания необходимо четко уяснить, что f(x) возрастает, если показатель логарифма а › 1, а убывает – при 0 ‹ а ‹ 1. Однако, не только основание, но и аргумент может сильно повлиять на вид кривой функции.

Задание 1

F(x), отмеченные галочкой, являются правильными ответами. Сомнения в данном случае вызывают пример 2 и 3. Знак «-» перед log меняет возрастающую на убывающую и наоборот.

Поэтому график y=-log_3⁡x убывает на всей области определения, а y= -log_(1/3)⁡x – возрастает, при том, что основание 0 ‹ a ‹ 1.

Ответ: 3,4,5.

Задание 2

Ответ: 4.

Данные типы заданий считаются легкими и оцениваются в 1- 2 балла.

Задание 3.

Определить убывающая или возрастающая ли функция и указать область ее определения.

Так как основание логарифма меньше единицы, но больше нуля – функция от x является убывающей. Согласно свойствам логарифма аргумент также должен быть больше нуля. Решим неравенство:

Ответ: область определения D(x) – интервал (50; + ∞).

Задание 4.

Ответ: 3, 1, оси OX, направо.

Подобные задания классифицируются как средние и оцениваются в 3 — 4 балла.

Задание 5. Найти область значений для функции:

Из свойств логарифма известно, что аргумент может быть только положительным. Поэтому рассчитаем область допустимых значений функции. Для этого нужно будет решить систему из двух неравенств:

Итак, искомый промежуток находится в пределе интервала (-4; 8), при других x становится невозможным вычислить значение одного из данных логарифмических выражений.

Согласно свойствам логарифмической функции сумма логарифмов с одинаковым основанием равна логарифму произведения их аргументов.

Графиком функции y = — x 2 + 4x + 32 является парабола, схематический график которой представлен ниже.

Точка A является экстремумом графика, в ней y принимает наибольшее значение. Координаты точки A (m; n) вычисляются по формулам, приведенным на рисунке. Высчитаем n для заданной параболы.

Наибольшее значение y_max = 36. Так как основание логарифма в примере больше 1, то функция будет возрастающей, и достигнет наибольшего значения при максимальном аргументе. Узнаем максимум для F(y):

Наименьшего значения в конкретном примере нет, поэтому ОДЗ для f(x) = log₃⁡(x+4)+ log₃⁡(8-x) является следующий интервал (- ∞; 2log₃6).

Подобные задачи можно отнести к категории «сложно» и оценивать не менее 4 баллов за правильный ответ.

Идёт приём заявок

Подать заявку

Для учеников 1-11 классов и дошкольников

Выбранный для просмотра документ Конспект урока.doc

Разработка урока обобщения и систематизации знаний в 11 классе по теме « Логарифмическая функция. Преобразования графика логарифмической функции»

Приёмы и методы

Организация начала урока

Приветствует, проверяет готовность к уроку, организует внимание

Подготовка учащихся : сообщение темы ( проблемы). Исторический материал и связь с окружающим миром – для развития интереса к предмету

Словесный, фронтальная беседа, словесно-наглядный с применением презентаций учащегося

Предлагает план работы на уроке.

Учащиеся с помощью презентации рассказывают о связи логарифмической функции с окружающим миром

Проверка готовности к уроку по материалу предыдущего урока ( самими учащимися)

Индивидуальный интерактивный тест с последующей самопроверкой

Предъявляет задания. Организует и корректирует работу обучающихся

Обобщение отдельных фактов , понятий

Построение графика логарифмической функции путем несложных преобразований

Фронтальный анализ, словесно-наглядный с применением презентаций Самостоятельная работа с проверкой

Предъявляет задания. Организует и корректирует работу обучающихся, организует проверку, демонстрируя параллельный перенос с помощью презентации

Обобщение отдельных фактов , понятий

Построение графика логарифмической функции путем сложных преобразований

Фронтальный анализ и обобщение

Самостоятельная работа с проверкой

Предъявляет задания. Организует и корректирует работу обучающихся, организует проверку с помощью документ- камеры

Применение построений графиков при решении уравнений и неравенств

Работа у доски, самостоятельная работа

Предъявляет задания. Организует и корректирует работу обучающихся, организует проверку

Подведение итогов урока . Рефлексия

Словесный анализ, фронтальная

Задает вопросы, отвечая на которые учащиеся анализируют свою работу

Логарифмическая функция. Преобразования графика логарифмической функции

Цель урока (учебная, развивающая, воспитательная)

Образовательные: совершенствовать навыки построения графиков сложных логарифмических функций; уметь применять их при графическом решении уравнений и неравенств.

Развитие мыслительных операций посредством наблюдений, сравнений, сопоставлений, обобщений, конкретизаций

Сознательного восприятия учебного материала

Развитие математической речи учащихся, потребности к самообразованию

Способствовать развитию исследовательской деятельности учащихся

Развитие интереса к предмету

Воспитание познавательной активности

Чувства ответственности, уверенности в себе, воспитание культуры общения

Основные термины и понятия для изучения

Логарифм, свойства логарифма, логарифмическая функция, ее свойства

Ноутбуки персональные, документ-камера, карточки с заданиями, листы оценивания, презентации, интерактивный тест.

Методические приемы мотивации обучения

Использование ИКТ, презентации составленные учащимися

Методические приемы проверки домашнего задания

Выступление ученика с демонстрацией материала по презентации «Логарифмическая функция в окружающем нас мире»

Тема: Логарифм, его свойства, логарифмическая функция, ее свойства и график

«В науке нет широкой столбовой дороги, и только тот достигнет ее сияющих вершин, кто, не страшась усталости, карабкается по ее каменистым тропам»

Цели урока:

Образовательные: совершенствовать навыки построения графиков логарифмических функций; уметь применять их при графическом решении уравнений и неравенств.

Развитие мыслительных операций посредством наблюдений, сравнений, сопоставлений, обобщений, конкретизаций

Сознательного восприятия учебного материала

Развитие математической речи учащихся, потребности к самообразованию

Способствовать развитию исследовательской деятельности учащихся

Развитие интереса к предмету

Воспитание познавательной активности

Чувства ответственности, уверенности в себе, воспитание культуры общения

Ресурсы урока: Карточки с заданиями, интерактивный тест, презентации, лист оценивания.

Тип урока : Комбинированный

Форма урока: Классно-урочная

Форма работы: фронтальная, индивидуальная.

Технология: Личностно-ориентированная; информационно-коммуникативная

Организационный момент (сообщение темы урока, цель урока, что должны знать и уметь).

Осуществление межпредметных связей (сообщение учащегося)

Обобщение ранее изученного материала. Проверка готовности к изучению материала (индивидуальное тестирование).

Изучение и закрепление нового материала

Применение нового материала

Организационный момент (приветствие, проверка готовности учащихся к уроку).

Тема сегодняшнего нашего урока «Логарифмическая функция. Преобразование графика».

Наша цель научиться строить графики логарифмических функций с помощью преобразований и применять их в решении уравнений и неравенств.

Будем работать по следующему плану:

Узнаем о связи логарифмической функции с окружающим миром.

Проверка готовности к уроку с помощью тестирования

Построение графиков логарифмической функции +самостоятельная работа

Графическое решение уравнений и неравенств + самостоятельная работа

На уроке вы должны быть активными, так как ваша оценка за урок будет складываться из количества баллов набранных вами за урок. Критерии оценок посмотрите в листах оценивания.

Осуществление межпредметных связей (сообщение учащегося)

Обобщение ранее изученного материала. Проверка готовности к изучению материала (индивидуальное тестирование). Вопросы по тестированию есть? При рассмотрении примеров были ли у вас трудности?

Изучение и закрепление нового материала

Напомните как построить график графики функций y = log ₃( x ), y = log _0,3( x )

Как получить графики функции y = log ₃( x – 1) , y = log _0,3( x )+3. Учитель обсуждает с учащимися сделанные выводы и дает задание построить самостоятельно графики функций y = log ₃( x -3), y = log ₃( x )+2, y = log ₃( x +4) – 2. Ученики комментируют построение и проверяют с помощью презентации.

А как построить графики следующих функций y = log ₃(ǀ x ǀ), y =ǀ log ₃(ǀ x ǀ)ǀ, y = ǀ log ₃(ǀ x ǀ)ǀ

Обсуждается способ построения каждой функции, общие и отличительные черты в построении. Строятся графики на доске. Учитель предлагает учащимся самостоятельно построить графики следующих функций по выбору y = log ₃(ǀ x -2ǀ),, y = ǀ- log ₃(ǀ- x ǀ)ǀ-2. Комментируют построение и проверяют с помощью документ-камеры.

Применение нового материала

Выполнение у доски №29(а), 30(б), 31(б), 47(а), 48(б). Учащиеся обсуждают, делают выводы и выполняют самостоятельно на выбор задания

(x + 3) 2 = log ₂(x-2), (x + 3) 2 ˃ log ₂(x-2), (x + 3) 2 ≥log ₂(x-2)

или -2= log ₂( x -2), -2 ˃ log ₂( x -2), -2≥ log ₂( x -2). Комментируют решение и проверяют с помощью документ-камеры.

Подведение итогов. Объявление оценок.

Определение логарифма

В дальнейшем будем считать, что основание логарифма a положительное, не равное единице число: 0,; a
e 1" style="width:105px;height:19px;vertical-align:-10px;background-position: -343px -555px;"> .

Десятичный логарифм – это логарифм по основанию числа 10 : lg x ≡ log₁₀ x .
Натуральный логарифм – это логарифм по основанию числа e : ln x ≡ log _e x .

Графики логарифма

График логарифма получается из графика показательной функции зеркальным отражением относительно прямой y = x . Слева изображены графики функции y = log _a x для четырех значений основания логарифма: a = 2 , a = 8 , a = 1/2 и a = 1/8 . На графике видно, что при a > 1 логарифм монотонно возрастает. С увеличением x рост существенно замедляется. При 0 1 логарифм монотонно убывает.

Свойства логарифма

Область определения, множество значений, возрастание, убывание

Логарифм является монотонной функцией, поэтому экстремумов не имеет. Основные свойства логарифма представлены в таблице.

Частные значения

Логарифм по основанию 10 называется десятичным логарифмом и обозначается так:

Логарифм по основанию e называется натуральным логарифмом:

Основные формулы логарифмов

Свойства логарифма, вытекающие из определения обратной функции:

Основное свойство логарифмов и его следствия

Формула замены основания

Логарифмирование – это математическая операция взятия логарифма. При логарифмировании, произведения сомножителей преобразуются в суммы членов.
Потенцирование – это математическая операция обратная логарифмированию. При потенцировании заданное основание возводится в степень выражения, над которым выполняется потенцирование. При этом суммы членов преобразуются в произведения сомножителей.

Доказательство основных формул логарифмов

Формулы, связанные с логарифмами вытекают из формул для показательных функций и из определения обратной функции.

Рассмотрим свойство показательной функции
.
Тогда
.
Применим свойство показательной функции
:
.

Докажем формулу замены основания.
;
.
Полагая c = b , имеем:

Обратная функция

Обратной для логарифма по основанию a является показательная функция с показателем степени a .

Если 0,;a>0,;a
e 1)" style="width:269px;height:20px;vertical-align:-11px;background-position: -0px -513px;"> , то

Если 0,;a
e 1)" style="width:184px;height:20px;vertical-align:-11px;background-position: -484px -513px;"> , то

Производная логарифма

Производная логарифма от модуля x :
.
Производная n-го порядка:
.
Вывод формул > > >

Для нахождения производной логарифма, его нужно привести к основанию e.
;
.

Интеграл

Интеграл от логарифма вычисляется интегрированием по частям: .
Итак,

Выражения через комплексные числа

Рассмотрим функцию комплексного числа z:
.
Выразим комплексное число z через модуль r и аргумент φ:
.
Тогда, используя свойства логарифма, имеем:
.
Или

Однако, аргумент φ определен не однозначно. Если положить
, где n — целое,
то будет одним и тем же числом при различных n.

Поэтому логарифм, как функция от комплексного переменного, является не однозначной функцией.

Разложение в степенной ряд

При имеет место разложение:

Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.

Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 26-03-2014 Изменено: 03-12-2018