Как определить радиус вектор

Физика и техника.

Физика тесно связана и с техникой, причем эта связь имеет двусторонний характер.

Физика выросла из потребностей техники. Так, развитие механики у древних греков было вызвано запросами строительной и военной техники того времени.

Развитие техники, в свою очередь, определяет направление физических исследований. Например, в свое время задача создания наиболее экономичных тепловых двигателей вызвала бурное развитие термодинамики. А началось все с того, что Джеймс Уатт заметил, что крышка кипящего чайника немного приподнимается под действием пара.

С другой стороны, от развития физики зависит технический уровень производства.

Физика лежит в основе создания новых отраслей техники (электронная техника, ядерная техника и др.).

Бурный темп развития физики, растущие связи ее с техникой указывают на значительную роль курса физики во втузе.

Физика является фундаментальной основой для теоретической подготовки инженера, без которой его успешная практическая деятельность невозможна.

Развитие механики как науки начинается с III в. до н. э., когда древнегреческий ученый Архимед (287—212 до н. э.) сформулировал закон равновесия рычага и законы равновесия плавающих тел. Основные законы механики установлены итальянским физиком и астрономом Г. Галилеем (1564—1642) и окончательно сформулированы английским ученым И. Ньютоном (1643—1727).

Механическим движением называется изменение положения тела относительно других тел с течением времени.

Материальной точкой называется тело, размерами и формой которого в данных условиях можно пренебречь.

Положение материальной точки указывается при помощи радиус-вектора , соединяющего начало системы координат с данной точкой:

, (1.1)

где — единичные векторы, направленные вдоль соответствующих осей координат: OX, OY, OZ. Значения координат данной материальной точки определяют проекции радиус-вектора на оси координат.

Модуль радиус-вектора вычисляется по формуле:

. (1.2)

Единичным вектором в направлении вектора называется вектор вида

. (1.3)

Если положение точки в пространстве изменяется, то радиус-вектор зависит от времени:

. (1.4)

Это векторная форма кинематического закона движения точки.

Конец радиус-вектора при движении точки описывает в пространстве кривую, называемую траекторией движения точки. Зависимость (1.4) эквивалентна системе уравнений:

(1.5)

Зависимость вида (1.5) называется координатной формой кинематического закона движения точки.

Расстояние между двумя положениями 1 и 2 материальной точки в пространстве определяется по формуле:

, (1.6)

где , , — разности координат материальной точки, отсчитанные вдоль осей OX, OY и OZ. Вектор, соединяющий точки 1 и 2, называется вектором перемещения. Он равен разности радиус-векторов точек 2 и 1:

. (1.7)

Действительно, из рисунка 1.1 видно, что вектор равен геометрической сумме векторов и : . Из последнего уравнения и следует выражение (1.7).

С другой стороны вектор перемещения может быть представлен через разности координат:

. (1.8)

Поэтому модуль вектора перемещения из точки 1 в точку 2 определяется по формуле (1.6).

Изменение положения материальной точки с течением времени характеризуется вектором мгновенной скорости, который определяется как производная от радиус-вектора материальной точки по времени[1]:

(1.9)

Вектор мгновенной скорости точки направлен по касательной к траектории в сторону движения точки. Его можно представить в виде:

, (1.10)

где проекции , и вектора мгновенной скорости на соответствующие оси координат вычисляются по формулам:

. (1.11)

С другой стороны, радиус-вектор материальной точки можно представить в виде:

где — единичный вектор, совпадающий по направлению с радиус-вектором точки. Тогда, в соответствии с формулой (1.9), вектор мгновенной скорости точки равен:

Первая составляющая: — направлена вдоль радиус-вектора и характеризует быстроту изменения его модуля.

Вторая составляющая: — связана с быстротой изменения направления радиус-вектора. Дело в том, что единичный вектор по величине не может изменяться и единственным способом его изменения является вращение вокруг некоторой оси. Поэтому производная от единичного вектора по времени равна произведению угловой скорости вращения радиус-вектора на перпендикулярный к нему единичный вектор , направленный в сторону возрастания угла :

В целях наглядности, рассмотренные кинематические характеристики , и , возникающие, например, при движении материальной точки в плоскости x, y по некоторой криволинейной траектории, представлены на рисунке 1.2.

Модуль вектора мгновенной скорости определяется следующим образом:

. (1.12)

Направление вектора мгновенной скорости определяется при помощи направляющих косинусов:

. (1.13)

Средняя скорость перемещения материальной точки за время от до определяется по формуле:

, (1.14)

где — вектор перемещения точки за то же время.

Из предыдущей формулы следует, что перемещение можно выразить через среднюю скорость перемещения:

. (1.15)

Путь определяют как длину дуги между точками 1 и 2. При смещении материальной точки вдоль траектории на бесконечно малую величину, ее путь можно записать следующим образом:

Проинтегрировав полученное выражение по времени от до , найдем, что:

, (1.16)

где — производная от по , — производная от по , и — значения координаты в моменты времени и , соответственно. Зависимость называют естественной формой кинематического закона движения точки.

Изменение вектора скорости с течением времени характеризуется вектором мгновенногоускорения, который определяется как производная от вектора скорости по времени:

. (1.17)

Вектор ускорения материальной точки можно представить в виде:

, (1.18)

где , и — проекции вектора ускорения на соответствующие оси координат.

Модуль вектора ускорения вычисляется следующим образом:

. (1.19)

Направляющие косинусы вектора ускорения равны

. (1.20)

Ускорение характеризует изменение величины и направления скорости в целом. Оно может быть представлено в виде векторной (геометрической) суммы тангенциального и нормального ускорений:

. (1.21)

Модуль ускорения выражается через модули тангенциального и нормального ускорений при помощи теоремы Пифагора:

. (1.22)

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: Для студентов недели бывают четные, нечетные и зачетные. 9466 — | 7449 — или читать все.

78.85.5.224 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.

Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)
очень нужно

Радиус-вектор в декартовых координатах

Радиус-вектор точки — это называется вектор, начало которого совпадает с началом системы координат, а конец — с данной точкой.

Таким образом, особенностью радиус-вектора, отличающего его от всех других векторов, является то, что его начало всегда находится в точке начала координат (рис. 17).

Введение понятия радиус-вектора оказалось чрезвычайно плодотворным при изучении различных физических явлений. В частности, это понятие широко используется в механике.

Как известно, положение точки можно задать с помощью ее координат. Так, если известны координаты x₁ и y₁ точки В или координаты x₂ и y₂ точки С, то мы легко находим положения этих точек на плоскости. Этот способ определения положения точки с помощью ее координат называется координатным способом.

Модуль радиус-вектора

— по теореме Пифагора.

Механическое движение. Система отсчета. Материальная точка.

Механическое движение – это процесс изменения положения данного тела в пространстве с течением времени относительно другого тела, которое мы считаем неподвижным.

Тело, условно принятое за неподвижное – тело отсчета.

Тело отсчета – это тело, относительно которого опре-деляется положение другого тела.

Обычно в качестве тела отсчета выбирается земля, но может быть и движущийся относительно земли предмет: автомобиль, лодка, самолет и т.д.

Система отсчета – это тело отсчета, система координат, жестко связанная с ним, и прибор для измерения времени движения.

Простейшей системой координат является прямоугольная декартова система (рис. 2). Система координат нужна для определения положения тела относительно тела отсчета. Выбор системы отсчета зависит от условий дан-ной задачи.

Движение реальных тел, как правило, сложное. Для упрощения рас-смотрения движений пользуются моделями. Одними из первых моделей реальных тел являются абсолютное твердое тело и материальная точка.

Материальной точкой называется тело, размерами и формой которого можно пренебречь в данной задаче. Данное понятие является математической абстракцией. Одно и то же тело в одних задачах можно рассматривать как материальную точку, а в других задачах – нельзя. Например, радиус Земли RЗемли равен 6400 км, расстояние между Солнцем и Землей L равно 150 000 000 км (L >> RЗемли). Рассматривая движение Земли относительно Солнца, радиусом Земли можно пре-небречь и считать, что Земля – материальная точка. Однако если нужно выяснить причины смены времен года, то Землю уже нельзя считать матери-альной точкой, а надо учитывать ее размеры, вращение вокруг оси и т.д. Мы будем изучать механическое движение материальной точки для того, чтобы потом определить движение реального тела.

Радиус-вектор. Проекции радиус-вектора. Модуль радиус-вектора.

Ра?диус-ве?ктор (обычно обозначается или просто ) — вектор, задающий положения точки в пространстве (например, гильбертовом или векторном) относительно некоторой заранее фиксированной точки, называемой началом координат.

Для произвольной точки в пространстве, радиус-вектор — это вектор, идущий из начала координат в эту точку.

Длина радиус-вектора, или его модуль, определяет расстояние, на котором точка находится от начала координат, а стрелка указывает направление на эту точку пространства.

На плоскости углом радиус-вектора называется угол, на который радиус-вектор повёрнут относительно оси абсцисс в направлении против часовой стрелки.

Радиус-вектор в декартовых координатах

Радиус-вектор точки — это называется вектор, начало которого совпадает с началом системы координат, а конец — с данной точкой.

Таким образом, особенностью радиус-вектора, отличающего его от всех других векторов, является то, что его начало всегда находится в точке начала координат (рис. 17).

Введение понятия радиус-вектора оказалось чрезвычайно плодотворным при изучении различных физических явлений. В частности, это понятие широко используется в механике.

Как известно, положение точки можно задать с помощью ее координат. Так, если известны координаты x1 и y1 точки В или координаты x2 и y2 точки С, то мы легко находим положения этих точек на плоскости. Этот способ определения положения точки с помощью ее координат называется координатным способом.

— по теореме Пифагора.

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: Да какие ж вы математики, если запаролиться нормально не можете. 8448 — | 7340 — или читать все.

Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)
очень нужно

Ра́диус-ве́ктор (обычно обозначается r → <displaystyle <vec >> или просто r <displaystyle mathbf > ) — вектор, задающий положения точки в пространстве (например, евклидовом) относительно некоторой заранее фиксированной точки, называемой началом координат.

Для произвольной точки в пространстве радиус-вектор — это вектор, идущий из начала координат в эту точку.

Длина, или модуль радиус-вектора — расстояние, на котором точка находится от начала координат, стрелка вектора — указывает направление на эту точку пространства.