Как определить минор матрицы
Содержание
- Минор $M_$ элемента $a_$
- Алгебраическое дополнение $A_$ элемента $a_$
- Минор k-го порядка матрицы $A_$
- Минор k-го порядка матрицы $A_$. Дополнительный минор. Алгебраическое дополнение к минору квадратной матрицы.
- Формула
- Как найти?
- Примеры решений
- 4. Обратная матрица и её вычисление.
- 5. Ранг матрицы. Вычисление ранга с помощью элементарных преобразований.
В данной теме рассмотрим понятия алгебраического дополнения и минора. Изложение материала опирается на термины, пояснённые в теме "Матрицы. Виды матриц. Основные термины". Также нам понадобятся некоторые формулы для вычисления определителей. Так как в данной теме немало терминов, относящихся к минорам и алгебраическим дополнениям, то я добавлю краткое содержание, чтобы ориентироваться в материале было проще.
Минор $M_$ элемента $a_ $
Пусть задана квадратная матрица $A_$ (т.е. квадратная матрица n-го порядка).
Для примера рассмотрим квадратную матрицу четвёртого порядка: $A=left( egin
ight)$. Найдём минор элемента $a_<32>$, т.е. найдём $M_<32>$. Сперва запишем минор $M_<32>$, а потом вычислим его значение. Для того, чтобы составить $M_<32>$, вычеркнем из матрицы $A$ третью строку и второй столбец (именно на пересечении третьей строки и второго столбца расположен элемент $a_<32>$). Мы получим новую матрицу, определитель которой и есть искомый минор $M_<32>$:
Этот минор несложно вычислить, используя формулу №2 из темы вычисления определителей второго и третьего порядков:
$$ M_<32>=left| egin
ight|= 1cdot 11cdot 58+(-3)cdot 5cdot 3+2cdot (-5)cdot 9-9cdot 11cdot 3-(-3)cdot 2cdot 58-5cdot (-5)cdot 1=579. $$
Итак, минор элемента $a_<32>$ равен 579, т.е. $M_<32>=579$.
Часто вместо словосочетания "минор элемента матрицы" в литературе встречается "минор элемента определителя". Суть остается неизменной: чтобы получить минор элемента $a_
ight|$. Чтобы записать требуемый минор $M_<12>$ нам понадобится вычеркнуть из заданного определителя первую строку и второй столбец:
Чтобы найти значение данного минора используем формулу №1 из темы вычисления определителей второго и третьего порядков:
$$ M_<12>=left| egin
ight|=9cdot 7-(-5)cdot 4=83. $$
Итак, минор элемента $a_<12>$ равен 83, т.е. $M_<12>=83$.
Алгебраическое дополнение $A_$ элемента $a_ $
Пусть задана квадратная матрица $A_$ (т.е. квадратная матрица n-го порядка).
где $M_
Найдем алгебраическое дополнение элемента $a_<32>$ матрицы $A=left( egin
ight)$, т.е. найдём $A_<32>$. Ранее мы уже находили минор $M_<32>=579$, поэтому используем полученный результат:
Обычно при нахождении алгебраических дополнений не вычисляют отдельно минор, а уж потом само дополнение. Запись минора опускают. Например, найдем $A_<12>$, если $A=left( egin
ight)$. Согласно формуле $A_<12>=(-1)^<1+2>cdot M_<12>=-M_<12>$. Однако чтобы получить $M_<12>$ достаточно вычеркнуть первую строку и второй столбец матрицы $A$, так зачем же вводить лишнее обозначение для минора? Сразу запишем выражение для алгебраического дополнения $A_<12>$:
Минор k-го порядка матрицы $A_$
Если в предыдущих двух пунктах мы говорили лишь о квадратных матрицах, то здесь поведём речь также и о прямоугольных матрицах, у которых количество строк вовсе не обязательно равняется количеству столбцов. Итак, пусть задана матрица $A_$, т.е. матрица, содержащая m строк и n столбцов.
Например, рассмотрим такую матрицу:
$$A=left( egin
ight) $$
Запишем для неё какой-либо минор третьего порядка. Чтобы записать минор третьего порядка нам потребуется выбрать какие-либо три строки и три столбца данной матрицы. Например, возьмём строки №2, №4, №6 и столбцы №1, №2, №4. На пересечении этих строк и столбцов будут располагаться элементы требуемого минора. На рисунке элементы минора показаны синим цветом:
Миноры первого порядка находятся на пересечении одной строки и одного столбца, т.е. миноры первого порядка равны элементам заданной матрицы.
Напомню, что главными диагональными элементами именуют те элементы матрицы, у которых индексы равны: $a_<11>$, $a_<22>$, $a_<33>$ и так далее. Например, для рассмотренной выше матрицы $A$ такими элементами будут $a_<11>=-1$, $a_<22>=7$, $a_<33>=18$, $a_<44>=8$. На рисунке они выделены зелёным цветом:
$$left( egin
ight) $$
Например, если в матрице $A$ мы вычеркнем строки и столбцы с номерами 1 и 3, то на их пересечении будут расположены элементы минора второго порядка, на главной диагонали которого будут находиться только диагональные элементы матрицы $A$ (элементы $a_<11>=-1$ и $a_<33>=18$ матрицы $A$). Следовательно, мы получим главный минор второго порядка:
$$ M=left|egin
ight| $$
Естественно, что мы могли взять иные строки и столбцы, – например, с номерами 2 и 4, получив при этом иной главный минор второго порядка.
Для примера рассмотрим такую матрицу:
$$A=left( egin
ight) $$
Запишем минор этой матрицы, элементы которого расположены на пересечении строк №1, №2, №3 и столбцов с №1, №3, №4. Мы получим минор третьего порядка (его элементы выделены в матрице $A$ фиолетовым цветом):
Найдём значение этого минора, используя формулу №2 из темы вычисления определителей второго и третьего порядков:
$$ M=left| egin
ight|=4+3+6-2=11. $$
Итак, $M=11
eq 0$. Теперь попробуем составить любой минор, порядок которого выше трёх. Чтобы составить минор четвёртого порядка, нам придётся использовать четвёртую строку, однако все элементы этой строки равны нулю. Следовательно, в любом миноре четвёртого порядка будет нулевая строка, а это означает, что все миноры четвёртого порядка равны нулю. Миноры пятого и более высоких порядков составить мы не можем, так как матрица $A$ имеет всего 4 строки.
Мы нашли минор третьего порядка, не равный нулю. При этом все миноры высших порядков равны нулю, следовательно, рассмотренный нами минор – базисный. Строки матрицы $A$, на которых расположены элементы этого минора (первая, вторая и третья), – базисные строки, а первый, третий и четвёртый столбцы матрицы $A$ – базисные столбцы.
Данный пример, конечно, тривиальный, так как его цель – наглядно показать суть базисного минора. Вообще, базисных миноров может быть несколько, и обычно процесс поиска такого минора куда сложнее и объёмнее.
Введём ещё одно понятие – окаймляющий минор.
Для примера обратимся к такой матрице:
$$A=left( egin
ight) $$
Запишем минор второго порядка, элементы которого расположены на пересечении строк №2 и №5, а также столбцов №2 и №4. Эти элементы выделены в матрице красным цветом:
Добавим к набору строк, на которых лежат элементы минора $M$, ещё строку №1, а к набору столбцов – столбец №5. Получим новый минор $M’$ (уже третьего порядка), элементы которого расположены на пересечении строк №1, №2, №5 и столбцов №2, №4, №5. Элементы минора $M$ на рисунке выделены красным цветом, а элементы, которые мы добавляем к минору $M$ – синим:
Минор $M’$ является окаймляющим минором для минора $M$. Аналогично, добавляя к набору строк, на которых лежат элементы минора $M$, строку №4, а к набору столбцов – столбец №3, получим минор $M»$ (минор третьего порядка):
Минор $M»$ также является окаймляющим минором для минора $M$.
Минор k-го порядка матрицы $A_$. Дополнительный минор. Алгебраическое дополнение к минору квадратной матрицы.
Вновь вернёмся к квадратным матрицам. Введём понятие дополнительного минора.
Для примера рассмотрим квадратную матрицу пятого порядка:
$$ A=left( egin
ight) $$
Выберем в ней строки №1 и №3, а также столбцы №2 и №5. На пересечении оных строк и столбцов будут элементы минора $M$ второго порядка. Эти элементы выделены в матрице $A$ зелёным цветом:
Теперь уберём из матрицы $A$ строки №1 и №3 и столбцы №2 и №5, на пересечении которых находятся элементы минора $M$ (элементы убираемых строк и столбцов показаны красным цветом на рисунке ниже). Оставшиеся элементы образуют минор $M’$:
Минор $M’$, порядок которого равен $5-2=3$, является минором, дополнительным к минору $M$.
Словосочетание "алгебраическое дополнение к минору $M$" часто заменяют словосочетанием "алгебраическое дополнение минора $M$".
Для примера рассмотрим матрицу $A$, для которой мы находили минор второго порядка $ M=left| egin
ight| $ и дополнительный к нему минор третьего порядка: $M’=left| egin
ight|$. Обозначим алгебраическое дополнение минора $M$ как $M^*$. Тогда согласно определению:
Параметр $alpha$ равен сумме номеров строк и столбцов, на которых находится минор $M$. Этот минор расположен на пересечении строк №1, №3 и столбцов №2, №5. Следовательно, $alpha=1+3+2+5=11$. Итак:
$$ M^*=(-1)^<11>cdot M’=-left| egin
ight|. $$
В принципе, используя формулу №2 из темы вычисления определителей второго и третьего порядков, можно довести вычисления до конца, получив значение $M^*$:
$$ M^*=-left| egin
ight|=-30. $$
Формула
Определение |
Минор матрицы — это определитель $ n-1 $ порядка, составленный путём вычеркивания $ i $-ой строки и $ j $-го столбца из матрицы $ A $ порядка $ n $. Обозначается минор $ M_ |
Формула минора матрицы выводится для каждого элемента этой матрицы отдельно. Пусть задана квадратная матрица $ A $ порядка $ n = 3 $:
По определению каждый минор $ M_
Аналогично миноры находятся для любого порядка. В частности для матрицы второго порядка в определитель будет входить одно число.
Как найти?
Чтобы найти миноры матрицы $ M_
Пример для матрицы второго порядка:
Пример для матрицы третьего порядка:
Если полученный определитель:
- Первого порядка, то записываем оставшееся число
- Второго или третьего порядка, то вычисляем его по правилу треугольников
- Четвертого и выше порядка, то выполняем разложение по строке (столбцу), либо методом Гаусса
Примеры решений
Пример 1 |
Решение |
Ответ |
$$ M_ <11>= 5; M_ <12>= 0; M_ <21>= 1; M_ <22>= 2 $$ |
Пример 2 |