Как определить коэффициенты полинома

Найдем матрицу определенного вида:

Вычисляем коэффициенты полинома

Получили полином третьей степени:

P(x)=-0.112x 3 +1.527x 2 +0.309x+2.422

3. Проверяем правильность найденных коэффициентов, подставив значение x из числа заданных, и найдем значение функции при x=1,91

Значение функции полностью совпадает со значением, найденным выше.

4. Строим графики значений vyi и полученных многочленов f(x) и P(x).

5. Проверяем полученное значение с помощью встроенной функции linterp(x, y, x1).

6. Составляем функцию, реализующую интерполирование функцией многочлена Лагранжа:


Интерполирование сплайнами

Исходные данные:

Интерполированная функция задана данными, состоящей из четырех узлов (n=3):

X 0,02 0,08 0,12 0,17
F(x) 1,02316 1,0959 1,14725 1,21483

Найти значения коэффициентов bi, ci, di, определяющих кубический сплайн на трех частичных отрезках. Проанализировать, что будет в случае увеличения заданных значений xi.

Решение:

1. Составим систему, состоящую из десяти уравнений.

Получаем значения коэффициентов bi, ci, di, которые определяют искомый сплайн.

2. Убедимся, что найденный сплайн удовлетворяем заданным свойствам. Значения сплайна и его первых производных в соответствующих узловых точках.

Значения, найденные с помощью построенного сплайна и с помощью встроенной функции интерполирования, совпадают до третьего знака после запятой.

3. Совпадение значений, найденных с помощью построенного сплайна и встроенной функции интерполирования, можно проверить с помощью функции сплайн-интерполяции.

4. Функция cspline возвращает значения коэффициентов кубического сплайна vs, который используется функцией interp для построения кубического сплайна:

5. Графическая иллюстрация сплайна:

Можно увидеть практическое совпадение значений «соседних» выражений сплайна в узловых точках, а также совпадение этих значений с табличными значениями функции f(x). Это обе6спечивает гладкость кубического сплайна.

Задание для индивидуального выполнения:

Буланов X 0,43 0,48 0,55 0,62 0,70 0,75 в точке x=0,702
Y 1,63597 1,73234 1,87686 2,03045 2,22846 2,35973
Вакуленко X 0,43 0,48 0,55 0,62 0,70 0,75 в точке x=0,645
Y 1,63597 1,73234 1,87686 2,03045 2,22846 2,35973
Воронов X 0,43 0,48 0,55 0,62 0,70 0,75 в точке x=0,608
Y 1,63597 1,73234 1,87686 2,03045 2,22846 2,35973
Вылегжанин X 0,02 0,08 0,12 0,17 0,23 0,30 в точке x=0,203
Y 1,02316 1,09590 1,14725 1,21483 1,30120 1,40976
Голованов X 0,35 0,41 0,47 0,51 0,56 0,64 в точке x=0,482
Y 2,73951 2,30080 1,96864 1,78776 1,59502 1,34310
Гурнутин X 0,02 0,08 0,12 0,17 0,23 0,30 в точке x=0,102
Y 1,02316 1,09590 1,14725 1,21483 1,30120 1,40976
Ибрагимов X 0,35 0,41 0,47 0,51 0,56 0,64 в точке x=0,436
Y 2,73951 2,30080 1,96864 1,78776 1,59502 1,34310
Исенгалиев X 0,41 0,46 0,52 0,60 0,65 0,72 в точке x=0,616
Y 2,57418 2,32513 2,09336 1,86203 1,74926 1,62098
Кожевников X 0,02 0,08 0,12 0,17 0,23 0,30 в точке x=0,114
Y 1,02316 1,09590 1,14725 1,21483 1,30120 1,40976
Конистратенко X 0,35 0,41 0,47 0,51 0,56 0,64 в точке x=0,552
Y 2,73951 2,30080 1,96864 1,78776 1,59502 1,34310
Коркин X 0,41 0,46 0,52 0,60 0,65 0,72 в точке x=0,487
Y 2,57418 2,32513 2,09336 1,86203 1,74926 1,62098
Лашманов X 0,02 0,08 0,12 0,17 0,23 0,30 в точке x=0,285
Y 1,02316 1,09590 1,14725 1,21483 1,30120 1,40976
Лебедев X 0,35 0,41 0,47 0,51 0,56 0,64 в точке x=0,526
Y 2,73951 1,20080 1,96864 1,78776 1,59502 1,34310
Лёвочкин X 0,41 0,46 0,52 0,60 0,65 0,72 в точке x=0,665
Y 2,57418 2,32513 2,09336 1,86203 1,74926 1,62098
Матюшанов X 0,41 0,46 0,52 0,60 0,65 0,72 в точке x=0,537
Y 2,57418 2,32513 2,09336 1,86203 1,74926 1,62098
Мельничук X 0,68 0,73 0,80 0,88 0,93 0,99 в точке x=0,774
Y 0,80866 0,89492 1,02964 1,20966 1,34087 1,52368
Николаев X 0,11 0,15 0,21 0,29 0,35 0,40 в точке x=0,275
Y 9,05421 6,61659 4,69170 3,351069 2,73951 2,36522
Носенко X 0,68 0,73 0,80 0,88 0,93 0,99 в точке x=0,896
Y 0,80866 0,89492 1,02964 1,20966 1,34087 1,52368
Носиков X 0,11 0,15 0,21 0,29 0,35 0,40 в точке x=0,314
Y 9,05421 6,61659 4,69170 3,351069 2,73951 2,36522
Овчинников X 0,05 0,10 0,17 0,25 0,30 0,36 в точке x=0,263
Y 0,050042 0,100335 1,171657 0,255342 0,309669 0,376403
Татьянко X 0,68 0,73 0,80 0,88 0,93 0,99 в точке x=0,715
Y 0,80866 0,89492 1,02966 1,20966 1,34087 1,52368
Чурсин X 0,11 0,15 0,21 0,29 0,35 0,40 в точке x=0,235
Y 9,05421 6,61659 4,69170 3,351069 2,73951 2,362522
Читайте также:  Как обновить айфон на предыдущую версию

Список литературы

1. Поршнев С.В., Численные методы на базе Mathcad / С.В. Поршнев, И.В. Беленкова – СПб.: БХВ-Петербург, 2005. – 464 с.

2. Амосов А.А., Вычислительные методы для инженеров / А.А. Амосов, Ю.А. Дубинский, Н.В. Копченова– М.: Высшая школа, 1994. – 544 с.

3. Самарский А.А., Задачи и упражнения по численным методам: Учебное пособие / А.А. Самарсий, П.И. Ваюищевич, Е.А. Саморская – М.: Эдиториал УРСС, 2000. – 207 с.

Алексей Александрович Силаев

Если выражение является полиномом относительно некоторой переменной х, заданным не в обычном виде а1х+а2х 2 +. а как произведение других, более простых полиномов, то коэффициенты а12 легко определяются символьным процессором Mathcad. Коэффициенты сами могут быть функциями (подчас, довольно сложными) других переменных.

Рис. 5.10. Вычисление коэффициентов полинома

Чтобы вычислить полиномиальные коэффициенты в выражении при помощи меню (рис. 5 10):

  • Введите выражение.
  • Выделите в нем имя переменной или выражение, для которого требуется рассчитать полиномиальные коэффициенты (в примере на рис. 5.10 это переменная z).
  • Выполните команду Symbolic / Polynomial Coefficients (Символика / Коэффициенты полинома).

В результате под выражением появится вектор, состоящий из полиномиальных коэффициентов. Первым элементом вектора является свободный член а, вторым — а1, и т. д.

Конкретная задача, требующая вычисления полиномиальных коэффициентов, приведена в разделе, посвященном численному отделению корней полинома (см. разд. "Корни полинома" гл. 8).

Чтобы вычислить полиномиальные коэффициенты с помощью оператора символьного вывода:

  • Введите выражение.
  • Нажмите кнопку Coeffs на панели Symbolic (Символика).
  • Введите в местозаполнитель после вставленного ключевого слова coeffs аргумент полинома.
  • Введите оператор символьного вывода ->
  • Нажмите клавишу .

Примеры вычисления коэффициентов полинома приведены в листингах 5.7 и 5.8. Листинг 5.7 показывает расчет коэффициентов для разных аргументов. Последний листинг демонстрирует возможность определения коэффи-щентов не только для отдельных переменных, но для более сложных выражений, входящих в рассматриваемую формулу в качестве составной части.

Листинг 5.7. Вычисление коэффициентов полинома

Листинг 5.8. Вычисление полиноминальных коэффициентов для простой переменной и выражения

Есть 3 способа расчета значений полинома в Excel:

  • 1-й способ с помощью графика;
  • 2-й способ с помощью функции Excel =ЛИНЕЙН();
  • 3-й способ с помощью Forecast4AC PRO;
Читайте также:  Как выглядит корейская терка

Подробнее о полиноме и способе его расчета в Excel далее в нашей статье.

Полиномиальный тренд применяется для описания значений временных рядов, попеременно возрастающих и убывающих. Полином отлично подходит для анализа большого набора данных нестабильной величины (например, продажи сезонных товаров).

Что такое полином? Полином — это степенная функция y=ax 2 +bx+c (полином второй степени) и y=ax 3 +bx 2 +cx+d (полином третей степени) и т.д. Степень полинома определяет количество экстремумов (пиков), т.е. максимальных и минимальных значений на анализируемом промежутке времени.

У полинома второй степени y=ax 2 +bx+c один экстремум (на графике ниже 1 максимум).

У Полинома третьей степени y=ax 3 +bx 2 +cx+d может быть один или два экстремума.

Один экстремум

Два экстремума

У Полинома четвертой степени не более трех экстремумов и т.д.

Как рассчитать значения полинома в Excel?

Есть 3 способа расчета значений полинома в Excel:

  • 1-й способ с помощью графика;
  • 2-й способ с помощью функции Excel =ЛИНЕЙН;
  • 3-й способ с помощью Forecast4AC PRO;

1-й способ расчета полинома — с помощью графика

Выделяем ряд со значениями и строим график временного ряда.

На график добавляем полином 6-й степени.

Затем в формате линии тренда ставим галочку "показать уравнение на диаграмме"

После этого уравнение выводится на график y = 3,7066x 6 — 234,94x 5 + 4973,6x 4 — 35930x 3 — 7576,8x 2 + 645515x + 5E+06 . Для того чтобы последний коэффициент сделать читаемым, мы зажимаем левую кнопку мыши и выделяем уравнение полинома

Нажимаем правой кнопкой и выбираем "формат подписи линии тренда"

В настройках подписи линии тренда выбираем число и в числовых форматах выбираем "Числовой".

Получаем уравнение полинома в читаемом формате:

y = 3,71x 6 — 234,94x 5 + 4 973,59x 4 — 35 929,91x 3 — 7 576,79x 2 + 645 514,77x + 4 693 169,35

Из этого уравнения берем коэффициенты a, b, c, d, g, m, v, и вводим в соответствующие ячейки Excel

Каждому периоду во временном ряду присваиваем порядковый номер, который будем подставлять в уравнение вместо X.

Рассчитаем значения полинома для каждого периода. Для этого вводим формулу полинома y = 3,71x 6 — 234,94x 5 + 4 973,59x 4 — 35 929,91x 3 — 7 576,79x 2 + 645 514,77x + 4 693 169,35 в первую ячейку и фиксируем ссылки на коэффициенты тренда (см. статью как зафиксировать ссылки)

Получаем формулу следующего вида:

= R2C8 *RC[-3]^6+ R3C8 *RC[-3]^5+ R4C8 *RC[-3]^4+ R5C8 *RC[-3]^3+ R6C8 *RC[-3]^2+ R7C8 *RC[-3]+ R8C8

в которой коэффициенты тренда зафиксированы и вместо "x" мы подставляем ссылку на номер текущего временного ряда (для первого значение 1, для второго 2 и т.д.)

Также "X" возводим в соответствующую степень (значок в Excel "^" означает возведение в степень)

=R2C8*RC[-3] ^6 +R3C8*RC[-3] ^5 +R4C8*RC[-3] ^4 +R5C8*RC[-3] ^3 +R6C8*RC[-3] ^2 +R7C8*RC[-3]+R8C8

Теперь протягиваем формулу до конца временного ряда и получаем рассчитанные значения полиномиального тренда для каждого периода.

2-й способ расчета полинома в Excel — функция ЛИНЕЙН()

Рассчитаем коэффициенты линейного тренда с помощью стандартной функции Excel =ЛИНЕЙН()

Для расчета коэффициентов в формулу =ЛИНЕЙН(известные значения y, известные значения x, константа, статистика) вводим:

  • "известные значения y" (объёмы продаж за периоды),
  • "известные значения x" (порядковый номер временного ряда),
  • в константу ставим "1",
  • в статистику "0"
Читайте также:  Как прикрепить папку в майле

Получаем следующего вида формулу:

Теперь, чтобы формула Линейн() рассчитала коэффициенты полинома, нам в неё надо дописать степень полинома, коэффициенты которого мы хотим рассчитать.

Для этого в часть формулы с "известными значениями x" вписываем степень полинома:

  • ^ <1:2:3:4:5:6>— для расчета коэффициентов полинома 6-й степени
  • ^ <1:2:3:4:5>— для расчета коэффициентов полинома 5-й степени
  • ^ <1:2>— для расчета коэффициентов полинома 2-й степени

Получаем формулу следующего вида:

Вводим формулу в ячейку, получаем 3,71 —- значение (a) для полинома 6-й степени y=ax^6+bx^5+cx^4+dx^3+gx^2+mx+v

Для того, чтобы Excel рассчитал все 7 коэффициентов полинома 6-й степени y=ax^6+bx^5+cx^4+dx^3+gx^2+mx+v, необходимо:

1. Установить курсор в ячейку с формулой и выделить 7 соседних ячеек справа, как на рисунке:

2. Нажать на клавишу F2

3. Затем одновременно — клавиши CTRL + SHIFT + ВВОД (т.е. ввести формулу массива, как это сделать читайте подробно в статье "Как ввести формулу массива")

Получаем 7 коэффициентов полиномиального тренда 6-й степени.

Рассчитаем значения полиномиального тренда с помощью полученных коэффициентов. Подставляем в уравнение y=3,7* x ^ 6 -234,9* x ^ 5 +4973,5* x ^ 4 -35929,9 * x^3 -7576,7 * x^2 +645514,7* x +4693169,3 номера периодов X, для которых хотим рассчитать значения полинома.

Каждому периоду во временном ряду присваиваем порядковый номер, который будем подставлять в уравнение полинома вместо X.

Рассчитаем значения полиномиального тренда для каждого периода. Для этого вводим формулу полинома в первую ячейку и фиксируем ссылки на коэффициенты тренда (см. статью как зафиксировать ссылки)

Получаем формулу следующего вида:

= R2C8 *RC[-3]^6+ R3C8 *RC[-3]^5+ R4C8 *RC[-3]^4+ R5C8 *RC[-3]^3+ R6C8 *RC[-3]^2+ R7C8 *RC[-3]+ R8C8

в которой коэффициенты тренда зафиксированы и вместо "x" мы подставляем ссылку на номер текущего временного ряда (для первого значение 1, для второго 2 и т.д.)

Также "X" возводим в соответствующую степень (значок в Excel "^" означает возведение в степень)

=R2C8*RC[-3] ^6 +R3C8*RC[-3] ^5 +R4C8*RC[-3] ^4 +R5C8*RC[-3] ^3 +R6C8*RC[-3] ^2 +R7C8*RC[-3]+R8C8

Теперь протягиваем формулу до конца временного ряда и получаем рассчитанные значения полиномиального тренда для каждого периода.

2-й способ точнее, чем первый, т.к. коэффициенты тренда мы получаем без округления, а также этот расчет быстрее.

3-й способ расчета значений полиномиальных трендов — Forecast4AC PRO

Устанавливаем курсор в начало временного ряда

Заходим в настройки Forecast4AC PRO, выбираем "Прогноз с ростом и сезонностью", "Полином 6-й степени", нажимаем кнопку "Рассчитать".

Заходим в лист с пошаговым расчетом "ForPol6", находим строку "Сложившийся тренд":

Копируем значения в наш лист.

Получаем значения полинома 6-й степени, рассчитанные 3 способами с помощью:

  1. Коэффициентов полиномиального тренда выведенных на график;
  2. Коэффициентов полинома рассчитанных с помощью функцию Excel =ЛИНЕЙН
  3. и с помощью Forecast4AC PRO одним нажатием клавиши, легко и быстро.

Присоединяйтесь к нам!

Скачивайте бесплатные приложения для прогнозирования и бизнес-анализа:

  • Novo Forecast Lite — автоматический расчет прогноза в Excel .
  • 4analytics — ABC-XYZ-анализ и анализ выбросов в Excel.
  • Qlik Sense Desktop и QlikView Personal Edition — BI-системы для анализа и визуализации данных.

Тестируйте возможности платных решений:

  • Novo Forecast PRO — прогнозирование в Excel для больших массивов данных.

Получите 10 рекомендаций по повышению точности прогнозов до 90% и выше.

Adblock detector