Как найти точку касания параболы и прямой
Здравствуйте! Продолжаем рассматривать задачи входящие в состав экзамена по математике. Задания, которые мы рассмотрим ниже, по-большому счёту, никаких глубоких знаний теории не требуют. Для их решения необходимо понимание геометрического смысла производной , умение решать квадратное уравнение и немного логики.
Суть заданий следующая: дана парабола вида у = ах 2 +bх+c и касательная к этой параболе у=kх b. Один из коэффициентов (a, b или c) неизвестен и его необходимо найти.
Как решать такие задачи? Что необходимо вспомнить?
1. Если даны уравнения двух функций, то точка (точки) пересечения их графиков находится путём решения системы этих уравнений. Пара (х;у) являющаяся решением системы есть точка пересечения графиков (или пары, если точек пересечения больше).
2. Если к графику функции проведена касательная, то производная этой функции в точке касания равна угловому коэффициенту этой касательной (см. ссылку выше).
Рассмотрим задачи (показаны два способа решения):
Прямая у=х+7 является касательной к графику функции ах 2 –15х+15. Найдите a.
Прямая и график данной функции имеют одну общую точку, это значит, что данные уравнения можно внести для решения в одну систему, но этих уравнений будет недостаточно для решения (кроме неизвестных х и у имеется ещё параметр а).
Известно, что производная функции в данной точке равна угловому коэффициенту касательной у = kх + b (где k это угловой коэффициент), то есть f′(xo) = k. Это третье уравнение, запишем систему:
Подставим из второго уравнения в первое:
Найдём а, подставим х = 1 в ах 2 – 15х + 15 = х + 7 или в 2ах – 15 = 1
По смыслу задачи параметр a ≠ 0, график заданной функции — парабола. Прямая с параболой имеет единственную общую точку, так как сказано, что эта прямая является касательной. Поэтому необходимо и достаточно, чтобы уравнение ах 2 – 15х + 15 = х + 7 имело единственно решение:
Квадратное уравнение будет иметь единственное решение тогда, когда дискриминант будет равен нулю:
Прямая у=3х+1 является касательной к графику функции ах 2 +2х+3. Найдите a.
Прямая у=5х–8 является касательной к графику функции 6х 2 + bх + 16
Найдите b, учитывая, что абсцисса точки касания больше 0.
Прямая и парабола пересекаются в одной точке, поэтому оба уравнения можно внести в систему, но она не решаема, так как имеем три неизвестных:
Известно, что производная функции в данной точке равна угловому коэффициенту касательной у = kх + b (где k это угловой коэффициент), то есть f′(x o ) = k. Это третье уравнение, запишем систему:
Кратко можно сказать так:
Условия касания графика функции f (x) = k и прямой у = kх + b задаётся системой требований:
По условию, абсцисса точки касания положительна, значит х = 2.
График заданной функции — парабола. Прямая с параболой имеет единственную общую точку, так как сказано, что эта прямая является касательной. Поэтому необходимо и достаточно, чтобы уравнение
имело единственно решение. Преобразуем:
Квадратное уравнение будет иметь единственное решение тогда, когда дискриминант будет равен нулю:
Теперь определим, при каком значении b абсцисса точки касания будет больше нуля. Можно подставить поочерёдно полученные значения в систему:
Далее решить её и сдать вывод. Верным решением будет то значение b, при котором получим положительную абсциссу.
Но мы сразу подставим их (поочерёдно) в 28х 2 + (b – 5) + 24 = 0.
Таким образом, b = – 19 (при этом значении абсцисса точки касания положительна).
Прямая у = –5х+8 является касательной к графику функции 28х 2 + bх + 15.
Найдите b, учитывая, что абсцисса точки касания больше 0.
Прямая у=–6х–2 является касательной к графику ф-ии 18х 2 +6х+с. Найдите c.
Условия касания графика функции у = f (x) и прямой у = kx + b задаётся системой требований:
График заданной функции — парабола. Прямая с параболой имеет единственную общую точку, так как сказано, что эта прямая является касательной. Поэтому необходимо и достаточно, чтобы уравнение
имело единственное решение, преобразуем:
Квадратное уравнение будет иметь единственное решение тогда, когда дискриминант будет равен нулю, значит:
Прямая у=3х+4 является касательной к графику функции 3х 2 –3х+с. Найдите c.
Как видим, понимание способа нахождения точки пересечения графиков функций, заключающееся в решении системы, пригодилось при решении указанных задач (на ЕГЭ могут быть и другие). Но какие бы они не были, если чётко уясните геометрический смысл производной, проблем с подобными у вас не будет.
В данной рубрике продолжим рассматривать задачи, не пропустите!
Имеется круглая мишень радиуса R. На ней отмечены две окружности, радиусы которых равны 1/3 и 2/3 от радиуса мишени. Какова вероятность того, что кинутый в мишень дротик попадёт в закрашенную часть мишени? Результат округлите до тысячных.
*Учесть, что дротик мимо мишени попасть не может.
Тот учащийся, который первый напишет верный ответ, получит поощрительный приз в размере 150 рублей 😉
Надеюсь материал был вам полезен. Успехов Вам!
Наука: Математика
Секция: Геометрия
- Условия публикаций
- Все статьи конференции
КАСАТЕЛЬНЫЕ К ПАРАБОЛЕ
Паршева Валентина Васильевна
научный руководитель, заслуженный учитель РФ, учитель математики, школа № 24, г. Северодвинск
150%;background:">
Понятие касательной — одно из важнейших в математическом анализе. «Изучение прямых, касательных к кривым линиям, во многом определили пути развития математики» [2, с. 229]. Но касательную можно провести к различным кривым, в том и числе и к параболе, интерес к которой проявляли древние математики, такие как Апполоний Пергский, Архимед, Папп, Исидор Милетский. Интерес к касательным не ослабевал и у математиков последующих поколений. Исследования, связанные с построением касательных с помощью аналитических методов, проводили Р. Декарт, Г.В. Лейбниц, И. Ньютон.
150%;background:">
С помощью циркуля и линейки нетрудно построить касательную к окружности в данной ее точке. В Древней Греции умели строить с помощью циркуля и линейки касательные ко всем коническим сечениям: эллипсам, гиперболам и параболам, что свидетельствует о высоком уровне развития геометрии в то время.
150%;background:">
Актуальность работы в том, что понятия касательной к параболе, ее уравнение изучается только в 11 классе, и ее свойства не рассматриваются. В то же время исследование вопроса о касательной к параболе расширяет знания о параболе и круг решаемых задач. Одновременно актуальной является идея применения ИГС GeoGebra для проведения компьютерного моделирования исследуемого вопроса.
150%">
Проблемный вопрос: Понятие касательной к кривым вводится в школьном курсе математики только в 11 классе с помощью производной функции. Понятие производной функции возникло на много позже (XVII век) понятий параболы и касательной к ней. Можно ли без понятия производной функции дать определение параболы, сделать вывод ее уравнения и полученные знания применить для построения касательной к параболе?
150%;background:">
Цель исследования: применить имеющиеся знания о касательной для исследования новых свойств функции y=x 2 и попытаться использовать эти свойства для построения касательных к параболе y=x 2 без вычисления производной.
line-height:150%;background:">
1.Установить геометрическое место точек, являющихся точками пересечения взаимно-перпендикулярных касательных к параболе у=ах 2 .
line-height:150%;background:">
2.Установить, что касательная к параболе, проходящая через точку А параболы, является прямой, содержащей биссектрису угла, образованного лучом AF, где А — фокус параболы, и перпендикуляром, опущенном из точки А на директрису параболы.
line-height:150%;background:">
3.Установить, что точки, симметричные фокусу параболы относительно всевозможных ее касательных, расположены на директрисе параболы.
line-height:150%;background:">
4.Установить, что касательные в концах фокальной хорды параболы пересекаются на директрисе параболы.
line-height:150%;background:">
5.На основании установленных свойств касательной к параболе выявить способы построения касательной.
line-height:150%">
·Анализ школьных учебников математики, математической, справочной литературы, литературы по истории математики.
line-height:150%">
·Компьютерное моделирование математических объектов с помощью ИГС GeoGebra (компьютерный эксперимент).
line-height:150%">
·Анализ полученных с помощью компьютерного эксперимента данных.
line-height:150%">
·Обобщение найденных с помощью компьютерного эксперимента закономерностей.
line-height:150%;background:">
·Аналитические рассуждения.
150%">
Объект исследования: парабола
150%">
Предмет исследования: касательные к параболе.
150%">
Гипотеза исследования Видимо, касательная к параболе, как любой геометрический объект, имеет свои свойства, которые расширят наши знания о параболе.
150%;background:">
В учебной литературе даются такие определения касательной к параболе:
150%;background:">
Определение 1. Прямая, имеющая с параболой только одну общую точку и не параллельная ее оси, называется касательной к параболе.
150%;background:">
В математическом анализе касательная к кривой в точке М определяется как предельное положение секущей МN при приближении точки N по кривой к точке М.
150%;background:">
Определение 2. Касательной к кривой в данной точке МО называется предельное положение секущей ММ1 при условии, что точка М1 стремится к точке М по данной кривой [1, с. 21].
Вывод уравнения касательной к параболе у = ах 2 в точке М (х; ах 2 )
150%;background:">
•Точки М(х; ах 2 ) и М1(х1; ах1 2 ) принадлежат параболе у=ах2. Уравнение секущей М0М1 имеет вид:
Пусть точка М1 стремится к точке М. Тогда х1 стремится к х и в пределе уравнение секущей переходит в уравнение касательной в точке М(х; ах 2 )
150%;background:">
Касательная пересекает ось абсцисс в точке А (х/2; 0), что следует из уравнения касательной при у=0. Этот факт дает возможность построить касательную к параболе в данной точке М с помощью циркуля и линейки. Для этого нужно провести перпендикуляр МН из данной точки М к оси абсцисс, а затем построить середину отрезка ОН. Это точка А. Проведем прямую через точки А и М.
line-height:150%;background:">
• Прямая АМО является касательной к параболе в данной точке М0.
Построение касательной в ИГС GeoGebra
Алгоритм построения с помощь. ИГС аналогичен, только выполняется с помощью инструментов программы:
line-height:150%;background:">
• перпендикулярная прямая;
line-height:150%;background:">
• середина или центр;
line-height:150%;background:">
• прямая по двум точка.
150%;background:">
Задача. К параболе y = x 2 составить уравнения взаимно-перпендикулярных касательных. Найти точку их пересечения.
150%;background:">
Решение. Уравнение касательной к параболе y = ax 2 в точке с абсциссой х. Угловой коэффициент этой касательной k = 2ax. Уравнение касательной к параболе y = ax 2 в точке с абсциссой х1. Угловой коэффициент этой касательной k1 = 2ax1.
150%;background:">
Найдем соотношение между абсциссами х и х1. k·k1=-1 — условие перпендикулярности двух прямых. Тогда: 2ax∙2ax1 = -1; 4a 2 xx1 = -1;
150%;background:">
Искомое уравнение
background:">
background:">
150%;background:">
Составим уравнения взаимно-перпендикулярных касательных к параболе у = х 2 в различных точках, найдем их точки пересечения и сделаем сравнение
150%;background:">
Выполнив аналогичные рассуждения для параболы у = ах 2 и сравним координаты точек пересечения взаимно-перпендикулярных касательных к параболе у = ах 2 можно сделать вывод: абсциссы этих точек разные, а ординаты равны -1/4а, т. е. все такие точки находятся на прямой у = -1/4а, т. е. взаимно-перпендикулярные касательные пересекаются на директрисе параболы.
150%;background:">
Возникает вопрос: всегда ли к параболе можно провести две взаимно-перпендикулярных касательных. Ответ очевиден — исключением является вершина параболы.
150%;background:">
Теорема параболы. Пусть A — точка на параболе с фокусом F, директриса d, АD — перпендикуляр, опущенный на директрису. Тогда касательной к параболе, проходящей через точку A, будет прямая, содержащая биссектрису угла FAD.
150%;background:">
Доказательство. Пусть касательная t в точке M параболы пересекает ее директрису в точке Q и пусть P — основание перпендикуляра, опущенного из точки M на директрису.
150%;background:">
В четырехугольнике MFQP два противолежащих угла — прямые и стороны MP и MF равны.
150%;background:">
Следовательно, ΔPMQ = ΔQMF и касательная t является биссектрисой угла, образованного фокальным радиусом и прямой, проходящей через данную точку параллельно оси x.
150%;background:">
Если MP — перпендикуляр, опущенный из точки M параболы на директрису, то биссектриса угла FMP есть касательная к параболе в точке M.
150%;background:">
Вывод. Отсюда, далее, следует, что основания перпендикуляров, опущенных из фокуса параболы на ее касательные, принадлежат касательной к параболе в ее вершине.
150%;background:">
На основании свойств касательной можно выполнить построение касательных к параболе, проведенных из точки P. Пусть парабола задана фокусом F и директрисой d. Используя циркуль и линейку, построим касательную к параболе, проходящую через данную точку C. С центром в точке C и радиусом CF проведем окружность и найдем ее точки пересечения с директрисой d. Если расстояние от точки C до фокуса больше, чем расстояние до директрисы, то таких точек две. Обозначим их D1 и D2. Проведем биссектрисы углов FCD1 и FCD2соответственно. Прямые a1 и a2, содержащие эти биссектрисы являются серединными перпендикулярами к отрезкам FD1 и FD2 и, значит, будут искомыми касательными к параболе. Для построения точек касания через точки D1 и D2 проведем прямые, перпендикулярные директрисе и найдем их точки пересечения
150%;background:">
A1 и A2 с прямыми a1 и a2. Они и будут искомыми точками касания. Через точку C проходят две касательные к параболе.
150%;background:">
Построение касательных, проходящих через точку С выполнено в ИГС GeoGebra с помощью инструментов: Окружность по центру и радиусу, Отрезок по двум точкам, Пересечение двух объектов, Серединный перпендикуляр.
150%;background:">
В результате выполнения работы установлено, что:
line-height:150%;background:">
•геометрическое место точек, являющихся точками пересечения взаимно-перпендикулярных касательных к параболе у = ах 2 .
line-height:150%;background:">
•касательная к параболе, проходящая через точку А параболы, является прямой, содержащей биссектрису угла, образованного лучом AF, где А — фокус параболы, и перпендикуляром, опущенном из точки А на директрису параболы.
line-height:150%;background:">
•точки, симметричные фокусу параболы относительно всевозможных ее касательных, расположены на директрисе параболы.
line-height:150%;background:">
•На основании установленных свойств касательной к параболе выявлены способы построения касательной
150%;background:">
При выполнении работы были продемонстрированы возможности применения ИГС GeoGebra, что явилось новизной в исследовании поставленной проблемы.
-1.0cm;line-height:150%;background:">
1.Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. Геометрия. Дополнительные главы к учебнику 9 класса — М.: Вита — Пресс, 2003. — 176 с.;
-1.0cm;line-height:150%;background:">
2.Энциклопедический словарь юного математика. Сост. Савин А.П. — М.: Педагогика, 1985. — 352 с.;
Главная | Шутки | Форум |
План занятий |
Парабола. Фокус. Директриса. У равнение параболы.
Уравнение касательной к параболе.
Условие касания прямой и параболы.
Параболой ( рис.1 ) называется геометрическое место точек, равноудалённых от заданной точки F , называемой фокусом параболы, и данной прямой, не проходящей через эту точку и называемой директрисой параболы.
Уравнение параболы ( рис.1 ) :
Здесь ось ОХ является осью симметрии параболы.
Пусть Р ( х 1 , у 1 ) – точка параболы, тогда уравнение касательной к параболе в данной точке имеет вид: