Как найти теплоемкость при постоянном давлении

Содержание

Теплоемкости при постоянном давлении и постоянном объеме
Литература

Пусть нагревание происходит в условиях, когда объем остается постоянным
(V = const). Соответствующая молярная теплоемкость называется теплоемкостью при постоянном объеме, или изохорической теплоемкостью, и обозначается C_V:

(82)

Так как теплота при этом тратится только на изменение внутренней энергии dU, то δQ = dU и

(83)

Отсюда dU = C_V dT. Уравнение закона сохранения энергии (80) можно теперь переписать в виде

Следовательно, подводимое к телу тепло расходуется на изменение температуры dT (изменение внутренней энергии) и изменение объема dV (с этим связана внешняя механическая работа).

Если при нагревании постоянным остается давление, то теплоемкость называется теплоемкостью при постоянном давлении С_р (ее можно также называть изобарической теплоемкостью):

Пользуясь результатами кинетической теории газов, легко вычислить молярные теплоемкости идеального газа.

Для идеального одноатомного газа, как мы видели, внутренняя энергия моля равна U = RT; значит,

. (85)

Если разделить это значение молярной теплоемкости на число молекул в грамм-молекуле, т. е на число Авогадро, то получим тот средний вклад, который каждая молекула вносит в теплоемкость газа:

Следовательно, при повышении температуры на 1 К энергия каждой молекулы в среднем возрастает на джоулей.

Теплоемкость C_p идеального газа при постоянном давлении больше теплоемкости C_V при постоянном объеме на величину работы, которую совершает моль газа, расширяясь при нагревании на 1К. Работа эта равна . Таким образом,

. (86)

Но для моля идеального газа pV = RT, поэтому и

. (87)

Из формул (85) и (87) видно, что теплоемкость при постоянном давлении превосходит теплоемкость при постоянном объеме на величину R:

Уравнение (88) называетсяуравнением Роберта Майера. Из него вытекает физический смысл газовой постоянной:

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: Только сон приблежает студента к концу лекции. А чужой храп его отдаляет. 8829 — | 7543 — или читать все.

78.85.5.224 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.

Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)
очень нужно

Теплоемкости при постоянном давлении и постоянном объеме

При сообщении телу некоторого количества теплоты изменяется его температура (за исключением агрегатных превращений и вообще изотермических процессов). Характеристиками такого изменения являются различные теплоемкости: теплоемкость тела C_T, удельная теплоемкость вещества c, молярная теплоемкость C.

Понятия теплоемкости тела и удельной теплоемкости рассмотрены тут.

Молярная теплоемкость C — величина, равная количеству теплоты, необходимому для нагревания 1 моль вещества на 1 К:

Единицей молярной теплоемкости в СИ является джоуль на моль-Кельвин (Дж/моль·К).

Удельная теплоемкость связана с молярной соотношением

В отличие от такой, например, характеристики вещества, как его молекулярная масса M_r удельная теплоемкость вещества не является неизменным параметром. Удельная теплоемкость может резко изменяться при переходе вещества из одного агрегатного состояния в другое. Так, вода в газообразном состоянии имеет удельную теплоемкость 2,2·10 3 Дж/кг·К а в жидком 4,19·10 3 Дж/кг·К .

Теплоемкость зависит и от условий, при которых происходит передача теплоты телу. Последнее особенно относится к газам. Например, при изотермическом расширении газа ему передается некоторое количество теплоты Q > 0, а ΔΤ = 0. Следовательно, удельная теплоемкость газа при изотермическом процессе

При адиабатном сжатии (расширении) газ не получает теплоты и не передает ее окружающим телам (Q = 0), а температура газа изменяется (ΔΤ ≠ 0). Следовательно, удельная теплоемкость газа при адиабатном процессе

Наибольший интерес представляет теплоемкость для случаев, когда нагревание происходит при постоянном объеме или при постоянном давлении. В первом случае теплоемкость называется теплоемкостью при постоянном объеме или изохорной теплоемкостью (c_V, C_V), во втором — теплоемкостью при постоянном давлении или изобарной теплоемкостью (c_p, C_p).

Если объем не изменяется (ΔV = 0), то работа, совершенная газом, так же равна нулю (А = 0). Согласно первому закону термодинамики

Delta U = C_ cdot Delta T = c_V m Delta T . qquad (2))

Следовательно, теплоемкость при постоянном объеме равна изменению внутренней энергии газа при изменении температуры на 1 К.

Если газ идеальный, то в формуле (2)

Delta U = frac i2 frac mM R Delta T .)

Тогда молярная теплоемкость при постоянном объеме (

Delta U_M = frac i2 R Delta T) — изменение внутренней энергии 1 моль газа. Из этих равенств теплоемкость газа при постоянном объеме — (

C_ = frac i2 frac mM R); молярная теплоемкость газа при постоянном объеме — (

Если газ нагревается при постоянном давлении, то согласно первому закону термодинамики

A = p Delta V = frac mM R Delta T).

Тогда теплоемкость газа при постоянном давлении

C_ = frac <Delta T>= frac<Delta U> <Delta T>+ frac mM R = C_ + frac mM R = frac frac mM R .)

Молярная теплоемкость при постоянном давлении:

C_p = C_V + R) — уравнение Майера; (

C_p = frac i2 R + R = frac R .)

Таким образом, теплоемкость при постоянном давлении всегда больше теплоемкости при постоянном объеме. Их отношение равно

где γ — показатель адиабаты (коэффициент Пуассона).

Из-за малости величины коэффициента объемного расширения твердых и жидких тел работой, совершаемой ими при нагревании при постоянном давлении, можно пренебречь и считать, что теплоемкости при постоянном объеме и постоянном давлении практически совпадают. Поэтому теплоемкость твердых и жидких тел при заданной температуре может считаться вполне определенной величиной.

Литература

Аксенович Л. А. Физика в средней школе: Теория. Задания. Тесты: Учеб. пособие для учреждений, обеспечивающих получение общ. сред, образования / Л. А. Аксенович, Н.Н.Ракина, К. С. Фарино; Под ред. К. С. Фарино. — Мн.: Адукацыя i выхаванне, 2004. — C. 159-161.

1.2.1.Вычислить удельные теплоемкости при постоянном давлении и при постоянном объеме неона и водорода, принимая газы за идеальные.

Решение. Между молярными и удельными теплоемкостями идеального газа при постоянном давлениии и при постоянном объеме существует связь:

, а .

Таким образом, для удельныхтеплоемкостей имеем:

а .

Зная, что неон одноатомныйгаз длянего число степеней свободы i=3, m=20×10 -3 кг/моль, а водород двухатомный газ для него число степеней свободы i=5, m=27×10 -3 кг/моль. Подставляя в каждую из выше записанных формул значения и значение универсальной газовой постоянной R=8,31 Дж/(моль×К), вычисляем удельные теплоемкости для:

1.2.2. Найти отношение удельных теплоемкостей при постоянном давлении и постоянном объеме для кислорода.

Решение. Отношение удельных теплоемкостей при постоянном давлении и постоянном объеме идеального газа равно отношению его молярных теплоемкостей при постоянном давлении и постоянном объеме:

Зная, что молярные теплоемкости при постоянном давлении и при постоянном объеме связаны с числом степеней свободы и равны

Для отношения удельных теплоемкостей будем иметь

Кислород двухатомный газ, следовательно, число степеней свободы i=5. Подставляя значение i в вышезаписанную формулу, имеем:

1.2.3. Удельная теплоемкость некоторого двухатомного газа равна 14,7 кДж/(кг×К). Найти молярную массу этого газа.

Решение. Известно, что удельная теплоемкость при постоянном давлении связана с молярной теплоемкостью газа:

Молярная теплоемкость при постоянном давлении

где I – число степеней свободы газа.

Подставляяв полученную формулу значения данных в условии задачи величин, сучетом того, что для двухатомного газа i=5, будем иметь:

1.2.4. Вычислить удельные теплоемкости при постоянном объеме и постоянном давлении смеси неона и водорода, если массовые доли неона и водорода составляют w₁=80% и w₂=20% соответственно. Удельные теплоемкости для неона с_v=6,24×10 2 Дж/(кг×К), с_p==1,04×10 3 Дж/(кг×К); для водорода-с_v=1,04×10 4 Дж/(кг×К), с_p₌=1,46×10 4 Дж/(кг×К).

Решение. В общем случае количество тепла необходимого для нагревания смеси газов, например, при нагревании в условиях постоянного объема от температуры Т₁ до температуры Т₂ равна:

где с_v_(см) – удельная теплоемкость смеси;

С другой стороны это количество тепла может быть вычисленопо формуле:

где Q₁ и Q₁ – соответственно количество тепла, которое необходимо

сообщить, чтобы изменить температуру неона и водорода в отдельности;

с_v₁ и с_v₂ – удельные теплоемкости неона и водорода при постоянном объеме;

m₁ и m₂ – массы неона и водорода.

Таким образом имеем:

где и – массовые доли неона и водорода соответственно.

Подставляячисленные значения для удельнойтеплоемкости смеси неона иводорода при постоянномдавлении, будемиметь:

Аналогично можно получить формулу для определения удельной теплоемкости смеси неона и водорода при постоянном давлении:

Подставляя численные значения для удельной теплоемкости смеси при постоянном давлении, будем иметь:

1.2.5. Кислород массой 2 кг занимает объем V1=1 м3 и находится под давлением p₁=0,2 МПа. Газ был нагрет сначала при постоянном давлении до объема V₂=3 м 3 , а затем при постоянном объеме до давления p₃=0,5 МПа. Найти изменение внутренней энергии газа.

Решение. Изменение внутренней энергии газа

где c_v=iR/2m – удельная теплоемкость при постоянном объеме;

m – молярная масса газа;

DТ=(Т₂ – Т₁) – изменение температуры газа в конечном и начальном состояниях;

i=5 – число степеней свободы (кислород двухатомный газ).

Температуру газа в начальном и конечном состояниях можно определить из уравнения Менделеева–Клапейрона:

Для начальной температуры

Для конечной температуры

Тогда изменение внутреннейэнергиигаза

Подставляячисленные значения, будем иметь

1.2.6. Масса m=10 г кислорода находится при давлении p=0,3 МПа и температуре 10 o С. После нагревания при постоянном давлении газ занял объем V₂=10 л. Найти количество теплоты Q, полученное газом, и энергию теплового движения молекул газа W до и после нагревания.

Решение. Количество теплоты Q, полученное газом в процессе нагревания

где – молярная теплоемкость газа при постоянном давлении;

i=5 – число степеней свободы (кислород двухатомный газ);

R=8,31 Дж/(моль7К) – универсальная газовая постоянная;

m=0,032 кг/моль – молекулярная масса кислорода;

T₁ и T₂ – температуры газа в начальном и конечном состояниях. Для определения температуры газа в конечном состоянии воспользуемся соотношением между температурой и объемом газа, нагреваемого в условиях постоянного давления:

Воспользовавшись уравнением Менделеева–Клапейрона:

находимобъем газа в начальном состоянии:

Для конечной температуры будем иметь соотношение:

Подставляя численные значения, определяем конечную температуру газа:

Подставляячисленные значения находим количество теплоты, полученное газом в процессе нагревания:

Энергию теплового движения молекул газа можно определитьпо формуле

где C_V=iR/2 – молярная теплоемкость газа при постоянном объеме.

Таким образом, для энергии теплового движения молекул газа в начальном состоянии имеем:

в конечном состоянии:

1.2.7. Кислород массой 2 кг занимает объем V₁=1 м 3 и находится под давлением p₁=0,2 МПа. Газ был нагрет сначала при постоянном давлении до объема V₂=3 м 3 , а затем при постоянном объеме до давления p₃=0,5 МПа. Найти изменение внутренней энергии газа, совершенную им работу и теплоту, переданную газу.

Решение. Известно, что изменение внутренней энергии газа пропорционально изменению его температуры, при этом

Из уравнения Менделеева-Клапейрона

можно определить температуры, характерные для соответствующих состояний:

Таким образом, температура газа в начальном состоянии

Следовательно, для изменения внутренней энергии газа при его переходе из начального состояния в конечное состояние, имеем:

В процессе перехода газ совершал работу

где A₁ – работа газа, совершенная при переходе в условиях постоянного давления;

A₂ – работа газа, совершенная при переходе в условиях постоянного объема.

Работа газа, совершенная при переходе в условиях постоянного давления определяется соотношением:

а работа газа, совершенная при переходе в условиях постоянного объема:

Таким образом, в данном случае

Количество тепла, переданного газу равно сумме изменения его внутренней энергии и работы, совершенной им:

Проверив размерность и подставив численные значения величин, будем иметь

Т₁=0,2×10 6 ×1×32×10 -3 /8,31×10 3 ×2=385 К;

Т₂=0,2×10 6 ×3×32×10 -3 /8,31×10 3 ×2=1155 К;

Т₃=0,5×10 6 ×3×32×10 -3 /8,31×10 3 ×2 =2888 К;

DU=5×2×8,31×(2888-385)/2×32×10 -3 =3,25×10 3 Дж;

A=2×8,31×(1155-385)/32×10 -3 =0,4×10 3 Дж;

Q=3,25×10 3 +0,4×10 3 =3,65×10 3 Дж.

1.2.8. Масса 12 г азота находится в закрытом сосуде объемом

V=2 л при температуре t=10 o С.После нагревания давление в сосуде стало равным p=1,33 МПа. Какое количество теплоты Q сообщено газу при нагревании?

Решение. Так как объем газа не изменился, то сообщенное ему количество теплоты пошло на изменение его внутренней энергии

которое в свою очередь можно определить так:

где Cv=iR/2 – молярная теплоемкость азота при постоянном объеме.

Для определения конечной температуры T воспользуемся тем, что принагревании газав условиях постоянного объема отношение давлений пропорционально отношению его температур в начальном и конечном состояниях p₁/p₂=T₁/T₂.

Начальнoe давление определяем из уравнения Менделеева-Клапейрона, записанного для первоначального состояния:

Так как по условию задачи V₁=V₁=V, то для конечной температуры имеем:

Подставляя значение T₂ в формулу изменения внутренней энергии, которое равно количеству тепла, сообщенному газу, окончательно получим:

Размерность полученного результата очевидна. Численное значение Q равно

Q=4,13×10 3 Дж=4,13 кДж.

1.2.9. Баллон емкостью V =20 л с кислородом при давлении p =100 ат и температуре t=7 o С нагревается до t=27 o С. Какое количество теплоты при этом поглощает газ?

Решение. Поскольку коэффициенты теплового расширения для твердых тел значительно меньше (приблизительно в сто раз), чем для газов, в условиях данной задачи можно пренебречь расширением баллона и считать процесс нагревания газа изохорным.

При изохорных процессах, подводимое к системе количество тепла идет на изменение ее внутренней энергии.

Из определения молярной теплоемкости следует, что элементарное количество теплоты, сообщенное телу при повышении его температуры на dT, равно: dQ=C_VdT.

Число молей найдем из уравнения газового состояния (Менделеева-Клапейрона) n=m/m=p₁V/RT₁.

Так как газ нагревается при постоянном объеме, то С=С_V, где С_V=iR/2.

Подставив значения n и С_V в формулу для элементарного количества тепла, получим:

Отсюда, интегрируя и учитывая при этом, что все величины i, p₁, T₁, V – постоянные, найдем полное количество теплоты, поглощенное газом при нагревании от T₁ до T₂, которое численно и будет равно изменениюего внутренней энергии:

Проверив размерность, подставив в полученную формулу значения входящих величин в системе СИ, произведем вычисления:

DU=5×9,8×10 5 ×2×10 -3 (300-280)/2×280=35×10 3 Дж=35 кДж.

Дата добавления: 2014-12-30 ; просмотров: 17191 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ