Как найти периметр основания правильной треугольной пирамиды

Правильная пирамида обладает следующими свойствами:

  • боковые рёбра правильной пирамиды имеют равную величину;
  • в правильной пирамиде каждая боковая грань — конгруэнтный равнобедренный треугольник;
  • во все правильные пирамиды можно как вписать, так и описать вокруг неё сферу;
  • когда центры вписанной и описанной сферы совпадают, значит, сумма плоских углов у вершины пирамиды равняется , а всякий из них соответственно , где n — число сторон многоугольника основания;
  • площадь боковой поверхности правильной пирамиды равняется ½ произведения периметра основания на апофему.
Читайте также:  Как играть в игру крестный отец

Формулы для правильной пирамиды.

V — объем пирамиды,

S — площадь основания пирамиды,

h — высота пирамиды,

Sb — площадь боковой поверхности пирамиды,

a — апофема (не путать с α) пирамиды,

P — периметр основания пирамиды,

n — число сторон основания пирамиды,

b — длина бокового ребра пирамиды,

α — плоский угол при вершине пирамиды.

Ниже указанная формула определения объема используется лишь для правильной пирамиды:

V — объем правильной пирамиды,

h — высота правильной пирамиды,

n — количество сторон правильного многоугольника, основания правильной пирамиды,

a — длина стороны правильного многоугольника.

Боковое ребро правильной пирамиды находят по формуле:

где b — боковое ребро правильной пирамиды (SA, SB, SC, SD либо SE),

n — количество сторон правильного многоугольника (основание правильной пирамиды),

a — сторона правильного многоугольника (AB, BC, CD, DE либо EA) — основания правильной пирамиды,

h — высота правильной пирамиды (OS).

Указания к решению задач. Свойства, которые мы перечислили выше, помогают при практическом решении. Когда нужно определить углы наклона граней, их поверхность и так далее, значит общая методика сводится к разбиению всей объемной фигуры на отдельные плоские фигуры и применение их свойств для определения отдельных элементов пирамиды, так как большинство элементов оказываются общими для нескольких фигур.

Нужно разбить всю объемную фигуру на отдельные элементы — треугольники, квадраты, отрезки. Дальше, к отдельным элементам применяем знания из курса планиметрии, что очень упрощает определение ответа.

Правильная треугольная пирамида.

Правильная треугольная пирамида — это пирамида, у которой основанием оказывается правильный треугольник, а вершина опускается в центр основания.

Формулы для правильной треугольной пирамиды.

Формула для нахождения объема правильной треугольной пирамиды:

V — объем правильной пирамиды, которая имеет в основании правильный (равносторонний) треугольник,

h — высота правильной пирамиды,

a — длина стороны основания правильной пирамиды.

Так как правильная треугольная пирамида — это частный случай правильной пирамиды, значит, формулы, верные для правильной пирамиды, оказываются верными и для правильной треугольной.

Еще одним частным случаем правильно пирамиды является тетраэдр.

Этот видеоурок доступен по абонементу

У вас уже есть абонемент? Войти

Пирамида, основные понятия и элементы

Вспомним понятие n-угольной пирамиды. Она получается следующим образом: в плоскости

Определение.

Многогранник

Площадь поверхности пирамиды состоит из площади боковой поверхности и площади основания:

Площадь основания пирамиды, площади основных правильных многоугольников

Рассмотрим нахождение площади основания правильной n-угольной пирамиды. Правильный n-угольник, как нам известно, имеет равные стороны и равные внутренние углы. Решим следующую задачу: для n-угольника с заданной длиной стороны () и количеством углов (n) найти площадь (рисунок 2).

Рис. 2. Нахождение площади n-угольника

Рассмотрим треугольник

Половина этого угла, угол .

Треугольник Чтобы найти площадь n-угольника, нужно сложить n площадей треугольников вида

Площадь треугольника определяется по формуле:

Теперь получим площадь всего n-угольника:

Рассмотрим наиболее распространенные частные случаи:

Площадь правильного треугольника:

Площадь правильного шестиугольника:

Чтобы нарисовать правильный шестиугольник, удобно пользоваться следующим алгоритмом (рисунок 3):

Построить окружность (зеленая пунктирная линия) Провести диаметр (синяя пунктирная линия) Отметить середины радиусов построенного диаметра Провести через середины перпендикуляры (красные пунктирные линии) Получены вершины шестиугольника – построить шестиугольник.

Рис. 3. Правильный шестиугольник

Чтобы найти площадь правильного шестиугольника действуем стандартным методом. Рассматриваем треугольник АОС, в нем находим угол ∠АОВ, таких углов шесть, имеем:

Поскольку отрезки ОА и ОВ равны, то углы ∠ОАВ и ∠ОВА также составляют по . Так, рассматриваемый треугольник правильный. Его площадь нам известна:

Площадь шестиугольника состоит из шести таких площадей:

Площадь боковой поверхности пирамиды

Рассмотрим нахождение площади боковой поверхности правильной пирамиды.

Где

Рис. 4. Иллюстрация к задаче 1

Задана правильная пирамида с вершиной Р и основанием АВС. РН – высота пирамиды, РО – апофема. Сторона основания равняется По вышеприведенной формуле для того, чтобы найти площадь боковой поверхности пирамиды, необходимо найти ее апофему и полупериметр основания. Периметр основания нам известен, так как задана сторона основания. Найдем апофему из прямоугольного треугольника РНО. Один из катетов задан по условию – . Найдем второй катет ОН, он соответствует радиусу вписанной в треугольник окружности, формула нам известна:

Найдем апофему по теореме Пифагора:

Теперь можем найти площадь боковой поверхности пирамиды:

Связь площади треугольника с площадью его проекции

Площадь боковой поверхности и площадь основания пирамиды связаны через величину двугранного угла при основании.

Решение задач

Задача 2

РН – перпендикуляр к плоскости треугольника АВН. Из точки Н опущен перпендикуляр НМ к прямой АВ. . Доказать:

Решение. Проиллюстрируем условие:

Рис. 5. Иллюстрация к задаче 2

Треугольник АВН – это проекция треугольника АВР. Нужно доказать, что площадь проекции есть площадь исходного треугольника на косинус двугранного угла между ними. Поскольку НМ – перпендикуляр к АВ, то и РМ – перпендикуляр к АВ по теореме о трех перпендикулярах. Значит, угол – это линейный угол двугранного угла с ребром АВ. АВР – часть боковой поверхности, АВН – часть основания.

Читайте также:  Как настроить сетевую карту на windows 10

Найдем отношение площадей интересующих нас треугольников:

Рассмотрим прямоугольный треугольник РНМ. В нем РМ – гипотенуза, НМ – катет, прилежащий к заданному углу . Отсюда заключаем:

Что и требовалось доказать.

Задача 3

Доказать для правильной треугольной пирамиды:

Рис. 6. Иллюстрация к задаче 3

Задана правильная треугольная пирамида РАВС с основанием АВС и вершиной Р. – линейный угол двугранного угла с ребром АВ, точкой Р в одной плоскости и точкой С в другой плоскости.

Очевидно, что угол наклона В задаче 2 мы доказали: .

Выполним сложение полученных выражений.

Что и требовалось доказать.

Задача 4

Боковые грани пирамиды РАВС наклонены к основанию под одним и тем же углом

Рис. 7. Иллюстрация к задаче 4

Пусть РО – высота пирамиды. Найдем место расположения точки О. Из точки О опустим перпендикуляры к сторонам треугольника АВС – .

Поскольку

Выполним сложение полученных выражений.

Что и требовалось доказать.

Итак, мы рассмотрели площадь поверхности пирамиды, в частности, площадь основания и площадь боковой поверхности, следующий урок будет посвящен задачам.

Список литературы

  1. И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е изд., испр. и доп. – М.: Мнемозина, 2008. – 288 с.: ил.
  2. Шарыгин И. Ф. Геометрия. 10-11 класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений / Шарыгин И. Ф. – М.: Дрофа, 1999. – 208 с.: ил.
  3. Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. Геометрия. 10 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики /Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. – 6-е изд., стереотип. – М.: Дрофа, 2008. – 233 с.: ил.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

Домашнее задание

  1. Задача 1: основанием пирамиды является квадрат, одно из боковых ребер перпендикулярно основанию. Плоскость боковой грани, не проходящей через высоту пирамиды, наклонена к плоскости основания под углом Если вы нашли ошибку или неработающую ссылку, пожалуйста, сообщите нам – сделайте свой вклад в развитие проекта.

    Оценка статьи:
    1 Звезда2 Звезды3 Звезды4 Звезды5 Звезд (Пока оценок нет)
    Загрузка...
    Поделиться с друзьями:
Adblock
detector