Как найти периметр основания правильной треугольной пирамиды
Правильная пирамида обладает следующими свойствами:
- боковые рёбра правильной пирамиды имеют равную величину;
- в правильной пирамиде каждая боковая грань — конгруэнтный равнобедренный треугольник;
- во все правильные пирамиды можно как вписать, так и описать вокруг неё сферу;
- когда центры вписанной и описанной сферы совпадают, значит, сумма плоских углов у вершины пирамиды равняется , а всякий из них соответственно , где n — число сторон многоугольника основания;
- площадь боковой поверхности правильной пирамиды равняется ½ произведения периметра основания на апофему.
Формулы для правильной пирамиды.
V — объем пирамиды,
S — площадь основания пирамиды,
h — высота пирамиды,
Sb — площадь боковой поверхности пирамиды,
a — апофема (не путать с α) пирамиды,
P — периметр основания пирамиды,
n — число сторон основания пирамиды,
b — длина бокового ребра пирамиды,
α — плоский угол при вершине пирамиды.
Ниже указанная формула определения объема используется лишь для правильной пирамиды:
V — объем правильной пирамиды,
h — высота правильной пирамиды,
n — количество сторон правильного многоугольника, основания правильной пирамиды,
a — длина стороны правильного многоугольника.
Боковое ребро правильной пирамиды находят по формуле:
где b — боковое ребро правильной пирамиды (SA, SB, SC, SD либо SE),
n — количество сторон правильного многоугольника (основание правильной пирамиды),
a — сторона правильного многоугольника (AB, BC, CD, DE либо EA) — основания правильной пирамиды,
h — высота правильной пирамиды (OS).
Указания к решению задач. Свойства, которые мы перечислили выше, помогают при практическом решении. Когда нужно определить углы наклона граней, их поверхность и так далее, значит общая методика сводится к разбиению всей объемной фигуры на отдельные плоские фигуры и применение их свойств для определения отдельных элементов пирамиды, так как большинство элементов оказываются общими для нескольких фигур.
Нужно разбить всю объемную фигуру на отдельные элементы — треугольники, квадраты, отрезки. Дальше, к отдельным элементам применяем знания из курса планиметрии, что очень упрощает определение ответа.
Правильная треугольная пирамида.
Правильная треугольная пирамида — это пирамида, у которой основанием оказывается правильный треугольник, а вершина опускается в центр основания.
Формулы для правильной треугольной пирамиды.
Формула для нахождения объема правильной треугольной пирамиды:
V — объем правильной пирамиды, которая имеет в основании правильный (равносторонний) треугольник,
h — высота правильной пирамиды,
a — длина стороны основания правильной пирамиды.
Так как правильная треугольная пирамида — это частный случай правильной пирамиды, значит, формулы, верные для правильной пирамиды, оказываются верными и для правильной треугольной.
Еще одним частным случаем правильно пирамиды является тетраэдр.
Этот видеоурок доступен по абонементу
У вас уже есть абонемент? Войти
Пирамида, основные понятия и элементы
Вспомним понятие n-угольной пирамиды. Она получается следующим образом: в плоскости
Определение.
Многогранник Читайте также: Как вывести язык на панель компьютера
Площадь поверхности пирамиды состоит из площади боковой поверхности и площади основания:
Площадь основания пирамиды, площади основных правильных многоугольников
Рассмотрим нахождение площади основания правильной n-угольной пирамиды. Правильный n-угольник, как нам известно, имеет равные стороны и равные внутренние углы. Решим следующую задачу: для n-угольника с заданной длиной стороны () и количеством углов (n) найти площадь (рисунок 2).
Рис. 2. Нахождение площади n-угольника
Рассмотрим треугольник
Половина этого угла, угол .
Треугольник Чтобы найти площадь n-угольника, нужно сложить n площадей треугольников вида
Площадь треугольника определяется по формуле:
Теперь получим площадь всего n-угольника:
Рассмотрим наиболее распространенные частные случаи:
Площадь правильного треугольника:
Площадь правильного шестиугольника:
Чтобы нарисовать правильный шестиугольник, удобно пользоваться следующим алгоритмом (рисунок 3):
Построить окружность (зеленая пунктирная линия) Провести диаметр (синяя пунктирная линия) Отметить середины радиусов построенного диаметра Провести через середины перпендикуляры (красные пунктирные линии) Получены вершины шестиугольника – построить шестиугольник.
Рис. 3. Правильный шестиугольник
Чтобы найти площадь правильного шестиугольника действуем стандартным методом. Рассматриваем треугольник АОС, в нем находим угол ∠АОВ, таких углов шесть, имеем:
Поскольку отрезки ОА и ОВ равны, то углы ∠ОАВ и ∠ОВА также составляют по . Так, рассматриваемый треугольник правильный. Его площадь нам известна:
Площадь шестиугольника состоит из шести таких площадей:
Площадь боковой поверхности пирамиды
Рассмотрим нахождение площади боковой поверхности правильной пирамиды.
Где
Рис. 4. Иллюстрация к задаче 1
Задана правильная пирамида с вершиной Р и основанием АВС. РН – высота пирамиды, РО – апофема. Сторона основания равняется По вышеприведенной формуле для того, чтобы найти площадь боковой поверхности пирамиды, необходимо найти ее апофему и полупериметр основания. Периметр основания нам известен, так как задана сторона основания. Найдем апофему из прямоугольного треугольника РНО. Один из катетов задан по условию – . Найдем второй катет ОН, он соответствует радиусу вписанной в треугольник окружности, формула нам известна:
Найдем апофему по теореме Пифагора:
Теперь можем найти площадь боковой поверхности пирамиды:
Связь площади треугольника с площадью его проекции
Площадь боковой поверхности и площадь основания пирамиды связаны через величину двугранного угла при основании.
Решение задач
Задача 2
РН – перпендикуляр к плоскости треугольника АВН. Из точки Н опущен перпендикуляр НМ к прямой АВ. . Доказать:
Решение. Проиллюстрируем условие:
Рис. 5. Иллюстрация к задаче 2
Треугольник АВН – это проекция треугольника АВР. Нужно доказать, что площадь проекции есть площадь исходного треугольника на косинус двугранного угла между ними. Поскольку НМ – перпендикуляр к АВ, то и РМ – перпендикуляр к АВ по теореме о трех перпендикулярах. Значит, угол – это линейный угол двугранного угла с ребром АВ. АВР – часть боковой поверхности, АВН – часть основания.
Найдем отношение площадей интересующих нас треугольников:
Рассмотрим прямоугольный треугольник РНМ. В нем РМ – гипотенуза, НМ – катет, прилежащий к заданному углу . Отсюда заключаем:
Что и требовалось доказать.
Задача 3
Доказать для правильной треугольной пирамиды:
Рис. 6. Иллюстрация к задаче 3
Задана правильная треугольная пирамида РАВС с основанием АВС и вершиной Р. – линейный угол двугранного угла с ребром АВ, точкой Р в одной плоскости и точкой С в другой плоскости.
Очевидно, что угол наклона В задаче 2 мы доказали: .
Выполним сложение полученных выражений.
Что и требовалось доказать.
Задача 4
Боковые грани пирамиды РАВС наклонены к основанию под одним и тем же углом
Рис. 7. Иллюстрация к задаче 4
Пусть РО – высота пирамиды. Найдем место расположения точки О. Из точки О опустим перпендикуляры к сторонам треугольника АВС – .
Поскольку
Выполним сложение полученных выражений.
Что и требовалось доказать.
Итак, мы рассмотрели площадь поверхности пирамиды, в частности, площадь основания и площадь боковой поверхности, следующий урок будет посвящен задачам.
Список литературы
- И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е изд., испр. и доп. – М.: Мнемозина, 2008. – 288 с.: ил.
- Шарыгин И. Ф. Геометрия. 10-11 класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений / Шарыгин И. Ф. – М.: Дрофа, 1999. – 208 с.: ил.
- Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. Геометрия. 10 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики /Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. – 6-е изд., стереотип. – М.: Дрофа, 2008. – 233 с.: ил.
Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет
Домашнее задание
- Задача 1: основанием пирамиды является квадрат, одно из боковых ребер перпендикулярно основанию. Плоскость боковой грани, не проходящей через высоту пирамиды, наклонена к плоскости основания под углом Если вы нашли ошибку или неработающую ссылку, пожалуйста, сообщите нам – сделайте свой вклад в развитие проекта.
Оценка статьи:
Загрузка...