Как найти одз дифференциального уравнения

При решении уравнений мы обязаны находиться в рамках области допустимых значений (ОДЗ) переменной для этих уравнений. Решение уравнений определенных видов не требует явного нахождения ОДЗ. Например, мы обычно не говорим ни слова об области допустимых значений при решении линейных уравнений. Но это не из-за того, что мы ее не учитываем, а из-за того, что для любого линейного уравнения ОДЗ есть множество все действительных чисел, что очевидно, и мы в любом случае будем в ее рамках. В других случаях ОДЗ приходится находить отдельно, например, для преобразования уравнения или для отсеивания посторонних корней. А иногда ОДЗ оказывается чуть ли не самостоятельным инструментом решения уравнений. В этой статье мы как раз остановимся на этих ситуациях. То есть, здесь мы разберем, какие уравнения могут быть решены через ОДЗ, и как проводится их решение.

Какие уравнения можно решить через ОДЗ?

Через ОДЗ могут быть решены уравнения, ОДЗ для которых есть пустое множество или конечный набор чисел. То есть, индикатором того, может ли уравнение быть решено через ОДЗ, является сама область допустимых значений. Определить по внешнему виду уравнения, можно ли его решить через ОДЗ, нет возможности.

Например, ОДЗ для уравнения есть пустое множество, и это уравнение может быть решено через ОДЗ. Другой пример: область допустимых значений переменной для уравнения состоит из двух чисел −1 и 7 , это уравнение тоже может быть решено через ОДЗ. А вот уравнение не решить через ОДЗ, так как ОДЗ в этом случае представляет собой числовой промежуток [0, +∞) , который не является ни пустым, ни конечным множеством.

Через ОДЗ решаются уравнения любых видов. Главное, чтобы ОДЗ удовлетворяла указанным выше условиям. В этом смысле метод решения уравнений через ОДЗ можно считать общим методом решения уравнений.

Как решать уравнение через ОДЗ?

Допустим, нам дано задание решить уравнение. Мы нашли ОДЗ для этого уравнения, и ею оказалось пустое множество. Что это означает? Это означает, что заданное уравнение не имеет смысла ни для какого значения переменной. Естественно, такое уравнение не имеет решений.

А теперь допустим, что ОДЗ представляет собой конечный набор чисел. Что нам это дает в плане поиска решения уравнения? Понятно, что мы можем проверить подстановкой каждое число из ОДЗ на предмет того, является ли оно корнем уравнения. Все числа из ОДЗ, которые будут удовлетворять заданному уравнению, являются решениями этого уравнения.

Алгоритм

Представим рассуждения из предыдущего пункта в виде алгоритма решения уравнений через ОДЗ:

  • Находим ОДЗ переменной для заданного уравнения.
  • Если ОДЗ есть пустое множество, то делаем вывод об отсутствии решений.
  • Если ОДЗ есть конечный набор чисел, то переходим ко второму пункту.
  • Если ОДЗ представляет собой иное множество, то ищем другой метод решения.
  • Осуществляем проверку подстановкой всех чисел из ОДЗ. Те из них, которые удовлетворяют решаемому уравнению, являются его решениями.
  • Решения характерных примеров

    Рассмотрим решения двух характерных уравнений и . Первое из них подходит под случай, когда ОДЗ есть пустое множество, а второй – когда ОДЗ есть конечный набор чисел. Стоит заметить, что при решении уравнений через ОДЗ часто главную сложность представляет именно нахождение ОДЗ, остальные действия обычно значительно проще.

    Читайте также:  Как донатить на ютубе с телефона

    Решите уравнение .

    В следующем примере ОДЗ представляет собой единственное число. Через проверку подстановкой выясняется, что это число является корнем.

    Решите уравнение .

    В заключение дадим ссылку на решение иррационального уравнения , которое мы приводили в пример в первом пункте этой статьи. ОДЗ для него, в отличие от предыдущего примера, состоит из двух чисел, одно из которых является корнем уравнения, а другое – нет. Вот решение этого уравнения через ОДЗ.

    Любое выражение с переменной имеет свою область допустимых значений, где оно существует. ОДЗ необходимо всегда учитывать при решении. При его отсутствии можно получить неверный результат.

    В данной статье будет показано, как правильно находить ОДЗ, использовать на примерах. Также будет рассмотрена важность указания ОДЗ при решении.

    Допустимые и недопустимые значения переменных

    Данное определение связано с допустимыми значениями переменной. При введении определения посмотрим, к какому результату приведет.

    Начиная с 7 класса, мы начинаем работать с числами и числовыми выражениями. Начальные определения с переменными переходят к значению выражений с выбранными переменными.

    Когда имеются выражения с выбранными переменными, то некоторые из них могут не удовлетворять. Например, выражение вида 1 : а , если а = 0 , тогда оно не имеет смысла, так как делить на ноль нельзя. То есть выражение должно иметь такие значения, которые подойдут в любом случае и дадут ответ. Иначе говоря, имеют смысл с имеющимися переменными.

    Если имеется выражение с переменными, то оно имеет смысл только тогда, когда при их подстановке значение может быть вычислено.

    Если имеется выражение с переменными, то оно не имеет смысл, когда при их подстановке значение не может быть вычислено.

    То есть отсюда следует полное определение

    Существующими допустимыми переменными называют такие значения, при которых выражение имеет смысл. А если смысла не имеет, значит они считаются недопустимыми.

    Для уточнения вышесказанного: если переменных более одной, тогда может быть и пара подходящих значений.

    Для примера рассмотрим выражение вида 1 x — y + z , где имеются три переменные. Иначе можно записать, как x = 0 , y = 1 , z = 2 , другая же запись имеет вид ( 0 , 1 , 2 ) . Данные значения называют допустимыми, значит, можно найти значение выражения. Получим, что 1 0 — 1 + 2 = 1 1 = 1 . Отсюда видим, что ( 1 , 1 , 2 ) недопустимы. Подстановка дает в результате деление на ноль, то есть 1 1 — 2 + 1 = 1 0 .

    Что такое ОДЗ?

    Область допустимых значений – важный элемент при вычислении алгебраических выражений. Поэтому стоит обратить на это внимание при расчетах.

    Область ОДЗ – это множество значений, допустимых для данного выражения.

    Рассмотрим на примере выражения.

    Если имеем выражение вида 5 z — 3 , тогда ОДЗ имеет вид ( − ∞ , 3 ) ∪ ( 3 , + ∞ ) . Эта область допустимых значений, удовлетворяющая переменной z для заданного выражения.

    Если имеется выражения вида z x — y , тогда видно, что x ≠ y , z принимает любое значение. Это и называют ОДЗ выражения. Его необходимо учитывать, чтобы не получить при подстановке деление на ноль.

    Область допустимых значений и область определения имеет один и тот же смысл. Только второй из них используется для выражений, а первый – для уравнений или неравенств. При помощи ОДЗ выражение или неравенство имеет смысл. Область определения функции совпадает с областью допустимых значений переменной х к выражению f ( x ) .

    Как найти ОДЗ? Примеры, решения

    Найти ОДЗ означает найти все допустимые значения, подходящие для заданной функции или неравенства. При невыполнении этих условий можно получить неверный результат. Для нахождения ОДЗ зачастую необходимо пройти через преобразования в заданном выражении.

    Существуют выражения, где их вычисление невозможно:

    • если имеется деление на ноль;
    • извлечение корня из отрицательного числа;
    • наличие отрицательного целого показателя – только для положительных чисел;
    • вычисление логарифма отрицательного числа;
    • область определения тангенса π 2 + π · k , k ∈ Z и котангенса π · k , k ∈ Z ;
    • нахождение значения арксинуса и арккосинуса числа при значении, не принадлежащем [ — 1 ; 1 ] .
    Читайте также:  Как почистить головку принтера epson l110

    Все это говорит о том, как важно наличие ОДЗ.

    Найти ОДЗ выражения x 3 + 2 · x · y − 4 .

    Решение

    В куб можно возводить любое число. Данное выражение не имеет дроби, поэтому значения x и у могут быть любыми. То есть ОДЗ – это любое число.

    Ответ: x и y – любые значения.

    Найти ОДЗ выражения 1 3 — x + 1 0 .

    Решение

    Видно, что имеется одна дробь, где в знаменателе ноль. Это говорит о том, что при любом значении х мы получим деление на ноль. Значит, можно сделать вывод о том, что это выражение считается неопределенным, то есть не имеет ОДЗ.

    Ответ: ∅ .

    Найти ОДЗ заданного выражения x + 2 · y + 3 — 5 · x .

    Решение

    Наличие квадратного корня говорит о том, что это выражение обязательно должно быть больше или равно нулю. При отрицательном значении оно не имеет смысла. Значит, необходимо записать неравенство вида x + 2 · y + 3 ≥ 0 . То есть это и есть искомая область допустимых значений.

    Ответ: множество x и y , где x + 2 · y + 3 ≥ 0 .

    Определить ОДЗ выражения вида 1 x + 1 — 1 + log x + 8 ( x 2 + 3 ) .

    Решение

    По условию имеем дробь, поэтому ее знаменатель не должен равняться нулю. Получаем, что x + 1 — 1 ≠ 0 . Подкоренное выражение всегда имеет смысл, когда больше или равно нулю, то есть x + 1 ≥ 0 . Так как имеет логарифм, то его выражение должно быть строго положительным, то есть x 2 + 3 > 0 . Основание логарифма также должно иметь положительное значение и отличное от 1 , тогда добавляем еще условия x + 8 > 0 и x + 8 ≠ 1 . Отсюда следует, что искомое ОДЗ примет вид:

    x + 1 — 1 ≠ 0 , x + 1 ≥ 0 , x 2 + 3 > 0 , x + 8 > 0 , x + 8 ≠ 1

    Иначе говоря, называют системой неравенств с одной переменной. Решение приведет к такой записи ОДЗ [ − 1 , 0 ) ∪ ( 0 , + ∞ ) .

    Ответ: [ − 1 , 0 ) ∪ ( 0 , + ∞ )

    Почему важно учитывать ОДЗ при проведении преобразований?

    При тождественных преобразованиях важно находить ОДЗ. Бывают случаи, когда существование ОДЗ не имеет место. Чтобы понять, имеет ли решение заданное выражение, нужно сравнить ОДЗ переменных исходного выражения и ОДЗ полученного.

    • могут не влиять на ОДЗ;
    • могут привести в расширению или дополнению ОДЗ;
    • могут сузить ОДЗ.

    Рассмотрим на примере.

    Если имеем выражение вида x 2 + x + 3 · x , тогда его ОДЗ определено на всей области определения. Даже при приведении подобных слагаемых и упрощении выражения ОДЗ не меняется.

    Если взять пример выражения x + 3 x − 3 x , то дела обстоят иначе. У нас имеется дробное выражение. А мы знаем, что деление на ноль недопустимо. Тогда ОДЗ имеет вид ( − ∞ , 0 ) ∪ ( 0 , + ∞ ) . Видно, что ноль не является решением, поэтому добавляем его с круглой скобкой.

    Рассмотрим пример с наличием подкоренного выражения.

    Если имеется x — 1 · x — 3 , тогда следует обратить внимание на ОДЗ, так как его необходимо записать в виде неравенства ( x − 1 ) · ( x − 3 ) ≥ 0 . Возможно решение методом интервалов, тогда получаем, что ОДЗ примет вид ( − ∞ , 1 ] ∪ [ 3 , + ∞ ) . После преобразования x — 1 · x — 3 и применения свойства корней имеем, что ОДЗ можно дополнить и записать все в виде системы неравенства вида x — 1 ≥ 0 , x — 3 ≥ 0 . При ее решении получаем, что [ 3 , + ∞ ) . Значит, ОДЗ полностью записывается так: ( − ∞ , 1 ] ∪ [ 3 , + ∞ ) .

    Нужно избегать преобразований, которые сужают ОДЗ.

    Рассмотрим пример выражения x — 1 · x — 3 , когда х = — 1 . При подстановке получим, что — 1 — 1 · — 1 — 3 = 8 = 2 2 . Если это выражение преобразовать и привести к виду x — 1 · x — 3 , тогда при вычислении получим, что 2 — 1 · 2 — 3 выражение смысла не имеет, так как подкоренное выражение не должно быть отрицательным.

    Следует придерживаться тождественных преобразований, которые ОДЗ не изменят.

    Читайте также:  Как открыть гугл почту

    Если имеются примеры, которые его расширяют, тогда его нужно добавлять в ОДЗ.

    Рассмотрим на примере дроби вида x x 3 + x . Если сократить на x , тогда получаем, что 1 x 2 + 1 . Тогда ОДЗ расширяется и становится ( − ∞ 0 ) ∪ ( 0 , + ∞ ) . Причем при вычислении уже работаем со второй упрощенной дробью.

    При наличии логарифмов дело обстоит немного иначе.

    Если имеется выражение вида ln x + ln ( x + 3 ) , его заменяют на ln ( x · ( x + 3 ) ) , опираясь на свойство логарифма. Отсюда видно, что ОДЗ с ( 0 , + ∞ ) до ( − ∞ , − 3 ) ∪ ( 0 , + ∞ ) . Поэтому для определения ОДЗ ln ( x · ( x + 3 ) ) необходимо производить вычисления на ОДЗ, то есть ( 0 , + ∞ ) множества.

    При решении всегда необходимо обращать внимание на структуру и вид данного по условию выражения. При правильном нахождении области определения результат будет положительным.

    Область допустимых значений (ОДЗ) – это все значения переменной, при которых не нарушаются правила математики.

    — если в выражении (frac) значение переменной будет равно 1, нарушается правило: на ноль делить нельзя. Поэтому здесь (x) не может быть единицей и ОДЗ записывается так: (x
    eq1);

    — если в выражении (sqrt) значение переменной равно (0), нарушается правило: подкоренное выражение не должно быть отрицательно. Значит, здесь (x) не может быть (0), а также (1, -3, -52,7) и т.д. То есть, икс должен быть больше или равен 2 и ОДЗ будет: (xgeq2);

    — а вот в выражение (4x+1) мы можем подставить любое число вместо икса, и никакие правила нарушены не будут. Поэтому область допустимых значений здесь — вся числовая ось. В таких случаях ОДЗ не записывают, потому что оно не несет в себе полезной информации.

    Как найти ОДЗ?

    Если переменная (икс) в уравнении или неравенстве стоит в знаменателе, логарифме, под корнем, в тангенсе или котангенсе ОДЗ записать нужно.

    Чтобы осознать важность ОДЗ, давайте сравним два решения уравнения: с ОДЗ и без ОДЗ.

    Без ОДЗ: С ОДЗ:
    (frac=frac<12>) (frac=frac<12>)
    ОДЗ: (x+3≠0) (⇔) (x≠-3)
    (x^2-x=12) (x^2-x=12)
    (x^2-x-12=0) (x^2-x-12=0)
    (D=(-1)^2-4·1·(-12)=49) (D=(-1)^2-4·1·(-12)=49)
    (x_1=) (frac<-(-1) + sqrt<49>><2·1>) (=4) (x_2=) (frac<-(-1) + sqrt<49>><2·1>) (=4)
    (x_1=) (frac<-(-1) — sqrt<49>><2·1>) (=-3) (x_2=) (frac<-(-1) — sqrt<49>><2·1>) (=-3) — не подходит под ОДЗ
    Ответ: (4; -3) Ответ: (4)

    Видите разницу? В первом решении у нас в ответе появился неверный, лишний корень ! Почему неверный? А давайте попробуем подставить его в исходное уравнение.

    Видите, у нас получились и слева, и справа невычислимые, бессмысленные выражения (ведь на ноль делить нельзя). И то, что они одинаковы уже не играет роли, поскольку эти значения — не существуют. Таким образом, "(-3)" – неподходящий, посторонний корень, а область допустимых значений оберегает нас от таких серьезных ошибок.

    Именно поэтому за первое решение вы получите двойку, а за второе – пятерку. И это не занудные придирки учителя, ведь неучет одз – не мелочь, а вполне конкретная ошибка, такая же как потерянный знак или применение не той формулы. В конце концов, итоговый ответ-то неверен!

    Нахождение области допустимых значений часто приводит к необходимости решать системы неравенств или уравнений, поэтому вы должны уметь это делать хорошо.

    Решение: В выражении два корня, один из которых в знаменателе. Кто не помнит ограничения, накладывающиеся в этом случае, тот смотрит таблицу . Кто помнит, записывает, что выражение под первым корнем больше или равно нулю, а под вторым — больше нуля. Понимаете, почему ограничения именно такие?

    (egin5-2xgeq0\14+5x-x^ <2>> 0end)

    Дело за малым, нужно решить систему неравенств.
    В первом неравенстве перенесем (5) вправо, второе умножим на (-1)

    Запишем общий ответ для системы – это и есть допустимые значения для икса.

    Adblock
    detector