Как найти минимум и максимум функции

Точка $x_<0>$ называется точкой локального максимума функции $f(x)$, если существует такая окрестность этой точки, что для всех $x$ из этой окрестности выполняется неравенство: $f(x) leq fleft(x_<0>
ight)$.

Точка $x_<0>$ называется точкой локального минимума функции $f(x)$, если существует такая окрестность этой точки, что для всех $x$ из этой окрестности $f(x) geq fleft(x_<0>
ight)$.

Значение функции в точке максимума называется локальным максимумом, значение функции в точке минимума — локальным минимумом данной функции. Локальные максимум и минимум функции называются локальными экстремумами.

Точка $x_<0>$ называется точкой строгого локального максимума функции $y=f(x)$, если для всех $x$ из окрестности этой точки будет справедливо строгое неравенство $f(x) fleft(x_<0>
ight)$.

Наибольшее или наименьшее значение функции на промежутке называется глобальным экстремумом.

Глобальный экстремум может достигаться либо в точках локального экстремума, либо на концах отрезка.

Необходимое условие экстремума

(Необходимое условие экстремума)

Если функция $y=f(x)$ имеет экстремум в точке $x_<0>$, то ее производная $f^<prime>left(x_<0>
ight)$ либо равна нулю, либо не существует.

Точки, в которых производная равна нулю: $f^<prime>(x)=0$, называются стационарными точками функции.

Точки, в которых выполняется необходимое условие экстремума для непрерывной функции, называются критическими точками этой функции. То есть критические точки — это либо стационарные точки (решения уравнения $f^<prime>(x)=0$), либо это точки, в которых производная $f^<prime>(x)$ не существует.

Не в каждой своей критической точке функция обязательно имеет максимум или минимум.

Первое достаточное условие экстремума

(Первое достаточное условие экстремума)

Пусть для функции $y=f(x)$ выполнены следующие условия:

1. функция непрерывна в окрестности точки $x_<0>$;
2. $f^<prime>left(x_<0>
   ight)=0$ или $f^<prime>left(x_<0>
   ight)$ не существует;
3. производная $f^<prime>(x)$ при переходе через точку $x_<0>$ меняет свой знак.

Тогда в точке $x=x_<0>$ функция $y=f(x)$ имеет экстремум, причем это минимум, если при переходе через точку $x_<0>$ производная меняет свой знак с минуса на плюс; максимум, если при переходе через точку $x_<0>$ производная меняет свой знак с плюса на минус.

Если производная $f^<prime>(x)$ при переходе через точку $x_<0>$ не меняет знак, то экстремума в точке $x=x_<0>$ нет.

Таким образом, для того чтобы исследовать функцию $y=f(x)$ на экстремум, необходимо:

1. найти производную $f^<prime>(x)$;
2. найти критические точки, то есть такие значения $x$, в которых $f^<prime>(x)=0$ или $f^<prime>(x)$ не существует;
3. исследовать знак производной слева и справа от каждой критической точки;
4. найти значение функции в экстремальных точках.

Задание. Исследовать функцию $y(x)=x^<4>-1$ на экстремум.

Решение. Находим производную заданной функции:

Далее ищем критические точки функции, для этого решаем уравнение $y^<prime>(x)=0$:

Первая производная определена во всех точках. Таким образом, имеем одну критическую точку $x=0$. Наносим эту точку на координатную прямую и исследуем знак производной слева и справа от этой точки (для этого из каждого промежутка берем произвольное значение и находим значение производной в выбранной точке, определяем знак полученной величины):

Так как при переходе через точку $x=0$ производная сменила свой знак с "-" на "+", то в этой точке функция достигает минимума (или минимального значения), причем $y_<min >=y(0)=0^<4>-1=-1$.

Замечание. Также можно определить интервалы монотонности функции: так как на интервале $(-infty ; 0)$ производная $y^<prime>(x) 0$, значит заданная функция возрастает на нем.

Ответ. $y_<min >=y(0)=-1$

Второе достаточное условие экстремума

(Второе достаточное условие экстремума)

Пусть для функции $y=f(x)$ выполнены следующие условия:

1. она непрерывна в окрестности точки $x_<0>$;
2. первая производная $f^<prime>(x)=0$ в точке $x_<0>$;
3. $f^<prime prime>(x)
   eq 0$ в точке $x_<0>$ .

Тогда в точке $x_<0>$ достигается экстремум, причем, если $f^<prime prime>left(x_<0>
ight)>0$, то в точке $x=x_<0>$ функция $y=f(x)$ имеет минимум; если $f^<prime prime>left(x_<0>
ight) Пример

Задание. Исследовать функцию $y(x)=frac<2>-1><2>+1>$ на экстремум с помощью второй производной.

Решение. Находим первую производную заданной функции:

Находим точки, в которых первая производная равна нулю:

Вторая производная заданной функции:

В стационарной точке $x=0$ вторая производная $y^<prime prime>(0)=-frac<4 cdot(-1)><1^<3>>=4>0$, а значит, в этой точке функция достигает минимум, причем $y_<min >=y(0)=frac<0^<2>-1><0^<2>+1>=-1$.

Ответ. $y_<min >=y(0)=-1$

Доброго времени суток всем моим уважаемым читателям!

В этой статье мы попробуем научиться определять максимальное и минимальное значения различных функций, простых и посложнее, находить точки экстремумов, определять, является ли экстремум минимумом или максимумом функции, и даже отличать перегиб функции от экстремума.

Действовать мы будем так:

1. Определим производную функции.

2. Приравняем производную к нулю, чтобы определить, имеет ли функция экстремумы (если полученное уравнение имеет корни). Определим, принадлежат ли данные экстремумы заданному промежутку.

3. Если функция имеет экстремум на заданном промежутке, определим, максимум ли это или минимум.

4. Если функция не имеет экстремума (нет корней у уравнения, полученного путем приравнивания производной к нулю), определяем знак производной. Это покажет нам, является ли функция возрастающей или убывающей. Далее действуем по условию задачи: если функция возрастает, то максимальное значение справа, а минимальное – слева. Если убывает – то наоборот. Решение задач поможет нам все разложить по полочкам, и с помощью картинок мы постараемся не оставить непонятных мест в решении подобных задач.

Задача 1. Необходимо определить наибольшее значение функции:

Действуем по алгоритму: сначала определяем производную. Здесь мы имеем сумму функций, поэтому определяем производную от каждой в отдельности и складываем, после чего приравняем производную к нулю:

Решаем полученное уравнение. Если корни будут – значит, возможно, экстремумы есть (точка, где производная равна нулю, может быть и не экстремумом, а точкой перегиба).

Видим – корень есть:

В этой точке наша функция имеет экстремум. Важно, что эта точка принадлежит заданному интервалу. Выясним, максимум это или минимум.Для этого нужно определить знак производной в окрестности этой точки, то есть справа и слева от нее. Например, здесь можно взять точку – она будет располагаться слева, и точку – она будет справа. Тогда:

Понятно, что функция имеет наибольшее значение в точке максимума.Найдем это значение так: подставим найденную точку экстремума в уравнение функции:

Ответ: наибольшее значение функции на данном интервале равно 10.

2.Найти наименьшее значение функции на заданном интервале:

Точно так же, как и в первый раз, берем производную и приравниваем к нулю:

Уже видно, что это уравнение будет иметь корни:

В точке функция имеет экстремум. Максимум это или минимум? Найдем значение производной справа и слева от точки . Снова возьмем точку – она будет располагаться слева, и точку – она будет справа. Тогда:

Наименьшее значение функция принимает в точке м инимума, найдем его:

Ответ: наименьшее значение функции на данном интервале равно 1.

Решим следующую задачу:

3. Определить наибольшее значение функции на отрезке:

Сначала, как всегда, производная:

Это как раз случай, когда экстремумов у функции на данном интервале нет: у уравнения выше нет корней. Это означает, что функция монотонная: либо убывает, либо возрастает. Мы можем определить это по знаку производной: если производная положительна – функция возрастает, если отрицательна – убывает. Зачем нам знать, убывает или возрастает функция? Дело в том, что если функция возрастает, то ее значение будет всегда больше на правом конце интервала, а если убывает – на левом.

У нас, какой бы угол мы ни взяли, косинус его не превышает 1, поэтому производная положительна, а значит, функция растет. Таким образом, своего наибольшего значения она достигнет в точке 0:

Ответ: наибольшее значение функции на данном интервале – 3.

4. Определить наименьшее значение функции на отрезке:

Определим производную и приравняем к нулю:

Уже видно, что функция монотонная (нет корней у получившегося уравнения):

Так как производная отрицательна, то делаем вывод, что функция убывает. Тогда ее наименьшее значение – на правом конце отрезка, то есть в 0:

Ответ: наименьшее значение функции на данном отрезке – 19.

5. Найдите наименьшее значение функции на отрезке:

Берем производную, приравниваем к нулю и решаем полученное уравнение:

Казалось бы – уравнение имеет корни, значит, функция будет иметь экстремум на данном отрезке (второй корень данному отрезку не принадлежит, поэтому не рассмотрен). Определим, максимум это или минимум. Значение 1 для косинуса – максимальное, то есть, какую точку ни возьми около нуля – значение косинуса – абсциссы – будет меньше, чем в точке ноль. Однако! Производная в точке ноль знака не меняет! Она положительна в окрестности нуля, и значит, функция возрастает как до нуля, так и после. Значит, функция в точке ноль имеет не экстремум, а перегиб.

Поэтому, чтобы определить наименьшее значение, надо брать левый конец отрезка и считать значение функции в этой точке. По счастливой случайности, это точка ноль. Однако, это могла бы быть и другая точка, отличная от нуля, и тогда можно было бы ошибиться, посчитав точку ноль экстремумом и определив значение функции в ней. Итак, значение функции:

Ответ: наименьшее значение функции на данном отрезке – 8.

6. Найдите точку максимума функции:

Алгоритм выполнения таких заданий тот же самый. Первым делом – производная. Здесь имеем произведение двух функций, поэтому брать производную будем по правилу взятия производной от произведения функций:

Далее приравняем полученное выражение к нулю. Понятно, что экспонента всегда неотрицательна, в какую степень ни возведи, поэтому корень “спрятан” во втором сомножителе:

Убедимся, что данный экстремум – максимум. Действительно, в этой точке производная знак меняет, и меняет с положительного на отрицательный, то есть до этой точки функция возрастает, а после – убывает.

Таким образом, найденная нами точка – максимум. Ответ: точка х=-7.

7. Найдите наименьшее значение функции на отрезке:

Нам предстоит, как обычно, найти производную данной функции, а это функция сложная: под знаком логарифма выражение в степени (причем степень – четная! Если выносить ее за знак логарифма, то нужно ставить знак модуля, чтобы не сузить область определения функции). Поэтому, чтобы не раскрывать модуль, можем воспользоваться правилом взятия производной от сложной функции:

Полученное выражение приравняем к нулю:

Отметим, что в точке (-3) производная не определена. Тем не менее в этой точке производная поменяет знак. Точка (-2) – минимум функции, так как в ней производная меняет знак с отрицательного на положительный. Значит, в этой точке у функции минимальное значение. Найдем его:

Ответ: наименьшее значение функции на данном отрезке – 8.

8. Найдите точку максимума функции:

Определяем производную сложной функции. Найденную производную приравняем к нулю:

Имеем две точки экстремумов. Одна из них – максимум, другая – минимум.

Максимум функция имеет в точке 8.

9. Найдите точку минимума функции:

Определяем производную произведения, кроме того, экспонента является сложной функцией (здесь производная степени, в которую возведена экспонента, равна 1). Найденную производную приравняем к нулю:

Точкой минимума функции является точка 11. В этом можно убедиться: производная в ней меняет знак с минуса на плюс.

Ответ: точка х=11.

10. Найдите точки минимума и максимума функции:

Определяем производную сложной функции. Найденную производную приравняем к нулю:

Производная этой функции меняет знак с отрицательного на положительный в точке 2 (минимум), и с положительного на отрицательный – в точке 17 (максимум).

11. Найти наименьшее значение функции на отрезке:

Обратим внимание на то, что выражение, стоящее под знаком логарифма, больше нуля. Тогда 0″ title=”x+3>0″/>[/pmath], -3″ title=”x>-3″/>[/pmath]. Отрезок, на котором мы исследуем функцию и определяем знаки производной, удовлетворяет области определения функции.

Найдем производную и приравняем к нулю:

В точке 2 производная знак меняет, значит, это экстремум. Знак она меняет с отрицательного на положительный, поэтому данная точка – точка минимума. В ней функция принимает наименьшее значение:

Ответ: наименьшее значение функции на данном отрезке – 8.

12. Найти наименьшее значение функции на отрезке:

Найдем производную и приравняем к нулю:

Можем отметить, что область определения функции – положительные значения х (так как выражение под знаком логарифма больше ноля), и что производная в точке 0 не определена.Получим квадратное уравнение, у которого сумма коэффициентов равна 0 (a+b+c=0). В таком уравнении один корень равен 1, а второй c/a:

Заданному отрезку принадлежит лишь одна точка – 1. Производная здесь меняет знак с отрицательного на положительный, и значит, это минимум. Определим значение функции в этой точке:

13. Найдите наименьшее значение функции на отрезке:

Заметим, что функция не определена в точке 0.

Берем производную дроби:

Приравниваем производную к нулю и отыскиваем корни:

Один из корней нас не интересует, так как промежутку не принадлежит, а во второй точке производная меняет знак с отрицательного на положительный.То есть функция имеет минимум в данной точке. Определим ее минимальное значение:

Надеюсь, эта статья и, главное, приведенные примеры помогут вам справиться с заданием B15. Необходимо только помнить правила взятия производной, и особенно от сложных функций.

Необходимое условие экстремума функции одной переменной

Достаточное условие экстремума функции одной переменной

Если в точке x * выполняется условие:

Пример №1 . Найти наибольшее и наименьшее значения функции: на отрезке [1; 3].
Решение.

Критическая точка одна x₁ = 2 (f’(x)=0). Эта точка принадлежит отрезку [1;3]. (Точка x=0 не является критической, так как 0∉[1;3]).
Вычисляем значения функции на концах отрезка и в критической точке.
f(1)=9, f(2)= 5 /₂, f(3)=3 8 /₈₁
Ответ: f_min= 5 /₂ при x=2; f_max=9 при x=1

Пример №2 . С помощью производных высших порядков найти экстремум функции y=x-2sin(x) .
Решение.
Находим производную функции: y’=1-2cos(x) . Найдем критические точки: 1-cos(x)=2, cos(x)=½, x=± π /₃+2πk, k∈Z. Находим y’’=2sin(x), вычисляем , значит x= π /₃+2πk, k∈Z – точки минимума функции; , значит x=- π /₃+2πk, k∈Z – точки максимума функции.

Пример №3 . Исследовать на экстремум фцнкцию в окрестностях точки x=0.
Решение. Здесь необходимо найти экстремумы функции. Если экстремум x=0 , то выяснить его тип (минимум или максимум). Если среди найденных точек нет x = 0, то вычислить значение функции f(x=0).
Следует обратить внимание, что когда производная с каждой стороны от данной точки не меняет своего знака, не исчерпываются возможные ситуации даже для дифференцируемых функций: может случиться, что для сколь угодно малой окрестности по одну из сторон от точки x или по обе стороны производная меняет знак. В этих точках приходится применять другие методы для исследования функций на экстремум.

Пример №4 . Разбить число 49 на два слагаемых, произведение которых будет наибольшим.
Решение. Обозначим x — первое слагаемое. Тогда (49-x) — второе слагаемое.
Произведение будет максимальным: x·(49-x) → max
или
49x — x 2